2026届广州市岭南中学高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2026届广州市岭南中学高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
2．曲线在处的切线如图所示，则（ ）

A.0 B.
C. D.
3．在平面直角坐标系xOy中，点（0,4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（　　）
A.(－1,2) B.(2,－1)
C.(1,3) D.(3,1)
4．设，直线与直线平行，则（）
A. B.
C. D.
5．函数f（x）＝的图象大致形状是（　　）
A. B.
C. D.
6．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是
A. B.
C. D.
7．在三棱锥中，，，，若，，则（）
A. B.
C. D.
8．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（）
A.72 B.90
C.36 D.45
9．下列四个命题中为真命题的是（）
A.设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件
B.命题“”的否定是“”
C.函数的最小值是4
D.与的图象关于直线y＝x对称
10．已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
11．如果双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
12．已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（ ）
A 1 B.
C.1或 D.或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为______
14．已知点在直线上，则的最小值为___________.
15．在等比数列中，，，则公比________.
16．已知向量，，若，则实数m的值是___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在等差数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
18．（12分）2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成；2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强、农村美、农民富全面实现．某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2012年到2020年盈利情况：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
盈利y（百万）
6.0
6.1
6.2
6.0
6.4
6.9
6.8
7.1
7.0
（1）根据表中数据判断年盈利y与年份代码x是否具有线性相关性；
（2）若年盈利y与年份代码x具有线性相关性，求出线性回归方程并根据所求方程预测该企业2021年年盈利（结果保留两位小数）
参考数据及公式：，，，
，，
统计中用相关系数r来衡量变量y，x之间的线性关系的强弱，当时，变量y，x线性相关
19．（12分）设：实数满足实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20．（12分）已知为直角梯形，，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21．（12分）已知集合，.
（1）当时，求AB；
（2）设，，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
22．（10分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点
（1）求椭圆C方程；
（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若
①求△面积的范围，
②证明：为定值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用求解.
【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.
故选：B
2、C
【解析】由图示求出直线方程，然后求出，，即可求解.
【详解】由直线经过，，可求出直线方程为：
∵在处的切线
∴，
∴
故选：C
【点睛】用导数求切线方程常见类型：
(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；
(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标 ，再写出切线方程：.
3、D
【解析】设出点(0,4)关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可
【详解】解：设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),
则，解得：，
故选：D
4、C
【解析】根据直线平行求解即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，
即，经检验，满足题意.
故选：C
5、B
【解析】利用函数的奇偶性排除选项A,C，然后利用特殊值判断即可
【详解】解：由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以函数是奇函数，排除选项A,C.
当时，，排除选项D，
故选：B
6、C
【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为
过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角
∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小
设切点，由的导数为，则的斜率为.
∴，则.
∴，
∴
故选C
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，
这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.
7、B
【解析】根据空间向量的基本定理及向量的运算法则计算即可得出结果.
【详解】连接,因为，所以，
因为，所以，
所以,
故选：B

8、B
【解析】由题意结合成等比数列，有即可得，进而得到、，即可求.
【详解】由题意知：，，又成等比数列，
∴，解之得，
∴，则，
∴，
故选：B
【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量
1、由成等比，即；
2、等差数列前n项和公式的应用.
9、D
【解析】根据推出关系和集合的包含关系判断A，根据全称命题的否定形式可判断B，根据对钩函数性质即三角函数的性质可判断C，根据反函数的图像性质可判断D.
【详解】解：对于选项A：是的真子集，所以命题p是q的充分不必要条件，故A错误；
对于选项B：命题“”的否定是“”，故B错误；
对于选项C：函数，当时，，函数单调递减，当时取最小值，故C错误；
对于选项D：与互为反函数，故图象关于直线y＝x对称，故D正确.
10、B
【解析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
11、D
【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点代入，进而求得答案.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，将代入得：，即双曲线方程为.
故选：D.
12、C
【解析】根据条件列关于首项与公比的方程组，即可解得公比，注意等比数列求和公式使用条件.
【详解】等比数列中，，前三项之和，
若，，，符合题意；
若，则，解得，即公比的值为1或，
故选：C
【点睛】本题考查等比数列求和公式以及基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】方法一：通过对称性取特殊位置，设出P的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可
方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可
【详解】解：方法一：依据对称性，不妨设直径AB在x轴上， x， ，，
从而
故答案为2
方法二：，
而，则答案2
故答案为2
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质考查转化思想以及计算能力
14、2
【解析】由已知可用表示，代入所求式子后，结合二次函数的性质可求
【详解】解：由题意得，即，
所以，
根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值4，
故的最小值2
故答案为：2
15、
【解析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】因为等比数列中,故,又,故,故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题.
16、
【解析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.
【详解】因为，
所以，解得.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】(1)根据等差数列的通项公式求解；
(2)运用裂项相消法求数列的和.
详解】（1）∵，∴，
即
∴

（2）由（1）可得，
即.
利用累加法得

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和裂项相消法求数列的和.
18、（1）年盈利y与年份代码x具有线性相关性
（2），7.25百万元
【解析】（1）根据表中的数据和提供的公式计算即可；
（2）先求线性回归方程，再代入计算即可
【小问1详解】
由表中的数据得，，，
，
因为，
所以年盈利y与年份代码x具有线性相关性
【小问2详解】
，
，，当时，，
该企业2021年年盈利约为7.25百万元
19、（1）
（2）
【解析】（1）首先分别求出、为真时参数的取值范围，再由为真，取并集即可；
（2）首先解一元二次不等式，依题意是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，即可得到不等式组，解得即可；
【小问1详解】
解：当时，，即，解得，即为真时，实数的取值范围为
实数满足，即，解得：，即为真时，实数的取值范围为
因，所以，即；
【小问2详解】
解：由，即，所以，
因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，
则，解得；
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】建立空间直角坐标系.
（1）方法一，利用向量的方法，通过计算，，证得，，由此证得平面.
方法二，利用几何法，通过平面证得，结合证得，由此证得平面.
（2）通过平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
可得，，，.
（1）证明法一：因为，，，
所以，，
所以，，，平面，平面，
所以平面.
证明法二：因为平面，平面，所以，又因为，即，，平面，平面，
所以平面.

（2）由（1）知平面的一个法向量，
设平面的法向量，
又，，
且
所以
所以平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）由，解得范围，可得，由可得：，解得．即可得出
（2）由，解得．根据是成立的必要条件，利用包含关系列不等式即可得出实数的取值范围
【详解】（1）由，解得，可得：
，可得：，化为：，解得，
所以=.
（2）q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集.
由，解得
，又集合A=，
所以或
解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
22、（1）；
（2）①；②证明见解析.
【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程；
（2）先根据相切求出直线的斜率，结合可得，进而应用弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求△面积的范围，再逐个求解，，然后可证结论.
【小问1详解】
由题意，解得，故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
设直线为，联立得：，
因为直线与椭圆C相切，则判别式，即，整理得，
∴，故直线为，又，可得，
设直线为，
联立方程组，解得，故Q为，
联立方程组，化简得
设，由得：，且，
①，到直线的距离为，
∴，令，
∴.
②由上，
故，
于是为定值.
【点睛】直线与椭圆的相切问题一般是联立方程，结合判别式为零求解；定值问题的求解一般结合目标式中的项，逐个求解，代入验证即可.