2025-2026学年山东省新泰市第二中学数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025-2026学年山东省新泰市第二中学数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了调查修水县2019年高考数学成绩，在高考后对我县6000名考生进行了抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是（）
A.系统抽样法 B.分层抽样法
C.抽签法 D.简单的随机抽样法
2．已知等差数列{an}中，a4 + a9 = 8，则S12 = （ ）
A.96 B.48
C.36 D.24
3．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（ ）
A.8 B.10
C.16 D.32
4．方程表示的曲线为（）
A.抛物线与一条直线 B.上半抛物线（除去顶点）与一条直线
C.抛物线与一条射线 D.上半抛物线（除去顶点）与一条射线
5．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（）

A. B.
C D.
6．已知椭圆的左、右焦点分别是，焦距，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆C的方程为（）
A. B.
C. D.
7．已知实数，满足则的最大值为（ ）
A.-1 B.0
C.1 D.2
8．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（）
A.3 B.4
C.6 D.8
9．已知F是双曲线的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数n的值是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）
A. B.
C. D.
12．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员，依照品级递减石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是（）
A.石 B.石
C.石 D.石
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件，则的最小值为___________.
14．某班有位同学，将他们从至编号，现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是，那么第四位的编号是______
15．某中学拟从4月16号至30号期间，选择连续两天举行春季运动会，从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下：
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
雨
雨
阴
晴
晴
晴
雨
估计运动会期间不下雨的概率为_____
16．过点与直线平行的直线的方程是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某校高二年级共有男生490人和女生510人，现采用分层随机抽样的方法从该校高二年级中抽取100名学生，测得他们的身高数据
（1）男生和女生应各抽取多少人？
（2）若样本中男生和女生的平均身高分别为173.6、162.2厘米，请估计该校高二年级学生的平均身高
18．（12分）已知命题：；：.
（1）若“”为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为真命题，求实数的取值范围.
19．（12分）已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.
20．（12分）已知向量，
（1）求；
（2）求；
（3）若（），求的值
21．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
22．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求C；
（2）若，求的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】考生分为几个不同的类型或层次，由此可以确定抽样方法；
【详解】6000名考生进行抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本
又文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，
采用分层抽样法较好
故选：B.
【点睛】本题主要考查的是分层抽样，掌握分层抽样的有关知识是解题的关键，属于基础题.
2、B
【解析】利用等差数列的性质求解即可.
【详解】解：由等差数列的性质得.
故选：B
3、C
【解析】根据和为方程两根，得到，然后再利用等比数列的性质求解.
【详解】因为和为方程的两根，
所以，
又因为数列是等比数列，
所以，
故选C
4、B
【解析】化简得出或，由此可得出方程表示的曲线.
【详解】由可得或，
所以，方程表示的曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线，
故选：B.
5、A
【解析】利用向量的加法法则直接求解.
【详解】在四面体中，，分别是，的中点，

故选：A
6、A
【解析】画出图形，利用已知条件，推出，延长交椭圆于点，得到直角和直角，设，则，根据椭圆的定义转化求解，即可求得椭圆的方程.
【详解】如图所示，，则，
延长交椭圆于点，可得直角和直角，
设，则，
根据椭圆的定义，可得，
在直角中，，解得，
又在中，，
代入可得，所以，
所以椭圆的方程为.
故选：A.

7、D
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到结果
【详解】由约束条件画出可行域如图，

化目标函数为，由图可知当直线过点时，直线在轴上的截距最小，取得最大值2.
故选：D
8、D
【解析】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.
【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形，
因此，而椭圆：的长半轴长，
所以.
故选：D
9、D
【解析】由题意以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点，则必有，又当圆M经过原点时此时以AB为直径的圆M上与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足，从而得出答案.
【详解】由题意，由得，双曲线的渐近线方程为
所以，由，
可知，，，在以AB为直径的圆M上，圆的半径为
即以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点
当圆M与渐近线相切时，圆心到渐近线的距离，
则必有，即，则双曲线E的离心率，所以
又当圆M经过原点时，，解得E的离心率为，
此时以AB为直径圆M与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足条件.
所以E的离心率的取值范围是.
故选：D
10、C
【解析】首先根据抛物线焦半径公式得到，从而得到，再根据曲线的一条渐近线与直线AM平行，斜率相等求解即可.
【详解】由题知：，解得，抛物线.
双曲线的左顶点为，，
因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以，解得.
故选：C
11、D
【解析】由抛物线定义可得，注意开口方向.
详解】设
∵点P到y轴的距离是4
∴
∵，∴.
得
：.
故选：D.
12、D
【解析】令位官员(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)所分得的俸粮数是公差为数列，利用等差数列的前n项和求，进而求出正三品即可.
【详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员所分得的俸粮数记为数列，
由题意，是以为公差的等差数列，且，解得.
故正三品分得俸粮数量为（石）.
故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.
【详解】如图，作出可行域，由z的几何意义可知当过点B时取得最小值.

联立，则最小值为.
故答案为：.
14、29
【解析】根据给定信息利用系统抽样的特征直接计算作答.
【详解】因系统抽样是等距离抽样，依题意，相邻两个编号相距，
所以第四位的编号是.
故答案为：29
15、
【解析】以每相邻两天为一个基本事件，求出试验的基本事件数，再求出两天都不下雨的基本事件数，利用古典概率公式计算作答.
【详解】依题意，以每相邻两天为一个基本事件，如16号与17号、17号与18号为不同的两个基本事件，
则从4月16号至30号期间，共有14个基本事件，它们等可能，
其中相邻两天不下雨有16与17，19与20，20与21，21与22，22与23，26与27，27与28，28与29，共8个不同结果，
所以运动会期间不下雨的概率为.
故答案为：
16、
【解析】根据给定条件设出所求直线方程，利用待定系数法求解即得.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
而点在直线上，于是得，解得，
所以所求的直线的方程为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）应抽取男生49人，女生51人
（2）.
【解析】（1）利用分层抽样计算男生和女生应抽取的人数；
（2）利用平均数的计算公式计算求解.
【小问1详解】
解：应抽取男生人，女生应抽取100-49=51人.
【小问2详解】
解：估计该校高二年级学生的平均身高为.
18、（1）;（2）.
【解析】（1）先分别求出命题为真命题时的取值范围，再由已知“”为真命题进行分类讨论即可求解；（2）由（1）可知，当同时为真时，即可求出的范围.
试题解析：
若为真，则，所以，则
若为真，则，即.
（1）若“”为真，则或，则.
（2）若“”为真，则且，则.
19、（1），短轴长为，焦距为；（2）.
【解析】（1）由长轴得，再由离心率求得，从而可得后可得椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离
【详解】（1）由已知：，，
故，，
则椭圆的方程为：，
所以椭圆的短轴长为，焦距为.
（2）联立 ，解得，，
所以，，
故
20、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解；
（2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解；
（3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解.
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：因为，
所以，
即，
解得.
21、（1）；（2）
【解析】（1）根据条件求出即可；
（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】（1）且，，

（2）

22、（1）；
（2）.
【解析】（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C的大小.
（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求最大值.
【小问1详解】
由，得，即，
由余弦定理得：，又，所以
【小问2详解】
由（1）知：，则，
设△ABC外接圆半径为R，则，
当时，取得最大值为