重庆市铁路中学校高2026届高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

重庆市铁路中学校高2026届高二数学第一学期期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）
A B.
C. D.
2．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）
A. B.
C. D.
3．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
4．已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（）
A.2 B.
C. D.3
5．已知，，，若，，共面，则λ等于（）
A. B.3
C. D.9
6．已知双曲线，其渐近线方程为，则a的值为（）
A. B.
C. D.2
7．点到直线的距离是（）
A. B.
C. D.
8．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（）
A. B.
C. D.
9．已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，，E为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
10．如图，椭圆的右焦点为，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
11．已知是空间的一个基底，若，，若，则（）
A. B.
C.3 D.
12．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足（），设数列满足：，数列的前项和为，若（）恒成立，则的取值范围是________
14．函数在上的最大值为______________
15．已知函数，若，则________.
16．在中，，，，则此三角形的最大边长为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）讨论的单调区间；
（2）求在上的最大值.
18．（12分）已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线l交C于AB两点，且
（1）求抛物线C的方程；
（2）求以C的准线与x轴的交点D为圆心且与直线l相切的圆的方程
19．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6
⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度
20．（12分）已知直线经过点且斜率为
（1）求直线的一般式方程
（2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程
（3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程
21．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由贾玲导演的电影《你好，李焕英》上映，截至到2月21日22点8分，票房攀升至40.25亿，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎来了2021春节档最具戏剧性的一幕．正是因为影片中母女间的这份简单、纯粹、诚挚的情感触碰了人们内心柔软的地方，打动了万千观众，才赢得了良好的口碑，不少观众都流下了感动的泪水．影片结束后，某电影院工作人员当日随机抽查了100名观看《你好，焕英》的观众，询问他们在观看影片的过程中是否“流泪”，得到以下表格：

男性观众
女性观众
合计
流泪
20

没有流泪

5
20
合计

（1）完成表格中的数据，并判断是否有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关？
（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，然后从这5人中再随机抽取2人，求这2人都流泪的概率
附：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
，
22．（10分）已知动圆过点，且与直线：相切
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据，解不等式即可求解.
【详解】由方程表示圆，
则，
解得.
所以实数m的取值范围为.
故选：D
2、C
【解析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.
【详解】函数定义域为，求导得，
于是得函数的图象在点处切线的斜率，
而直线的斜率为，依题意，，即，解得，
所以.
故选：C
3、B
【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.
【详解】，
因为不等式恒成立，
所以，即，
解得，所以.
故选:B.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
4、C
【解析】根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.
【详解】因为数列满足，，（且）
所以，
，
，
，
因为恒成立，
所以，则M的最小值是，
故选：C
5、C
【解析】由，，共面，设，列方程组能求出λ的值
【详解】∵，，共面，
∴设(实数m、n)，
即，
∴，解得
故选：C
6、A
【解析】由双曲线方程，根据其渐近线方程有，求参数值即可.
【详解】由渐近线，结合双曲线方程，
∴，可得.
故选：A.
7、B
【解析】直接使用点到直线距离公式代入即可.
【详解】由点到直线距离公式得
故选：B
8、B
【解析】A.利用正切函数的性质判断； B.作出的图象判断； C.作出的图象判断； D.作出的图象判断.
【详解】A.是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
B.如图所示：，由图象知：函数是以为最小正周期，在上单调递减，故正确；
C.如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
D.如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
故选：B
9、B
【解析】建立空间直角坐标系，以向量法去求直线与平面所成角的正弦值即可.
【详解】平面，底面是边长为4的正方形，
则有，
而，故平面，
以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：

则，，
，
设直线与平面所成角为，又由题可知为平面的一个法向量，
则
故选：B
10、C
【解析】连结，设，则，，由可求出，进而可求出，得出椭圆方程.
【详解】由题意设椭圆的方程：，设左焦点为，
连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，

由得，
又，
设，则，，
又，解得，
又由，，
解得，，，
则椭圆的方程为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量，，.
11、C
【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果
【详解】，，
因，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以，
故选：C
12、B
【解析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先由条件求出的通项公式，得到，由裂项相消法再求出，根据不等式恒成立求出参数的范围即可.
【详解】当时，有
当时，由 ①
有 ②
由①－②得：
所以，当时也成立.
所以,故
则
由，即，所以
所以，由
所以
故答案为：
【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和以及数列不等式问题，属于中档题.
14、
【解析】对原函数求导得，令，解得或，且所以原函数在上的最大值为
考点：1．函数求导；2．利用导函数求最值
15、
【解析】求出导函数，确定导函数奇函数，然后可求值
【详解】由已知，它是奇函数，∴
故答案为：
【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性，确定函数的奇偶性是解题关键
16、
【解析】可知B对的边最大，再用正弦定理计算即可.
【详解】利用正弦定理可知，B对的边最大，
因为，，所以，
.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①，在上单减；②，在上单增，单减；
（2）.
【解析】（1），根据函数定义域，分， ，讨论求解；
（2）根据（1）知：分，，，讨论求解.
【小问1详解】
解：(1)定义域，
①时，成立，所以在上递减；
②时，当时，，当时，，
所以在上单增，单减；
【小问2详解】
由（1）知：时，在单减，
所以；
时，在单减，
所以；
时，在上单增，上递减，
所以；
时，在单增，
所以；
综上：.
18、（1）；（2）
【解析】（1）首先表示出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，再根据焦点弦公式计算可得；
（2）由（1）可得，再利用点到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；
【详解】解析：（1）由已知得点，
∴直线l的方程为，
联立去，消去整理得
设，，则，
，
∴抛物线C的方程为
（2）由（1）可得，直线l的方程为，
∴圆D的半径，
∴圆D的方程为
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于中档题.
19、（1）；（2）
【解析】(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程
（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度
【详解】解：⑴由，长轴长为6
得：所以
∴椭圆方程为
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为②
把②代入①得化简并整理得
所以
又
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题
20、（1）（2）（3）
【解析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.
【详解】(1)
(2)设所求方程为因为过点，所以
(3) 设所求方程为因为过点，所以
【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
21、（1）填表见解析；有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关；（2）
【解析】（1）由已知数据可完善列联表，然后计算可得结论；
（2）根据分层抽样定义求出5人中流泪与没有流泪的观众人数并编号，用列举法写出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流泪的基本事件，计数后可计算概率
【详解】解：（1）

男性观众
女性观众
合计
流泪
20
60
80
没有流泪
15
5
20
合计
35
65
100

所以有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关
（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，则
流泪的观众抽到人，记为，，，，
没有流泪的观众抽到人，记为
从这5人中抽2人有10种情况，分别是，，，，，，，，，
其中这2人都流泪有6种情况，分别是，，，，，
所以所求概率
22、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意分析圆心符合抛物线定义，然后求轨迹方程；
（2）直接联立方程组，求出弦长.
【详解】解：（1）圆过点，且与直线相切
点到直线的距离等于
由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，
依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是
（2）依题意可知直线，设
联立，得，则，
所以，线段的长度为
【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.