2026届河北省教考联盟数学高二上期末统考模拟试题含解析.doc

2026届河北省教考联盟数学高二上期末统考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（）
A.10 B.11
C.12 D.13
2．如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（）

A. B.
C. D.
3．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，设定点为，，，点O为坐标原点，动点满足(且为常数)，化简得曲线E：.当，时，关于曲线E有下列四个命题：①曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形；②的最大值为；③的最小值为；④面积的最大值为.其中，正确命题的个数为（）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
5．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）
A.当时，曲线C为圆
B.“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的充分而不必要条件
C.“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要而不充分条件
D.存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为
6．已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则（）
A.5 B.25
C. D.
7．已知椭圆的一个焦点坐标是，则（）
A.5 B.2
C.1 D.
8．设变量满足约束条件：，则的最小值（）
A. B.
C. D.
9．为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（）
A. B.
C. D.
11．已知数列中，且满足则（ ）
A.2 B.﹣1
C. D.
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过且与椭圆相交于不同的两点，、不在轴上，那么△的周长（）
A.是定值
B.是定值
C.不是定值，与直线的倾斜角大小有关
D.不是定值，与取值大小有关
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是______.

14．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______
15．已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为__________.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的离心率是____________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在如图三角形数阵中第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中).已知.

（1）求m及；
（2）记，求.
18．（12分）设椭圆方程为，短轴长，___请在①与双曲线有相同的焦点，②离心率，③这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，完成以下问题.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以点为中点的弦所在的直线方程.
19．（12分）已知直线过坐标原点，圆的方程为
（1）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；
（2）设直线与圆交于两点，，且为的中点，求直线的方程
20．（12分）如图，在直三棱柱中，，，.M为侧棱的中点，连接，，CM.

（1）证明：AC平面；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的大小.
21．（12分）已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆
（1）求椭圆方程；
（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值
22．（10分）已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设，求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据等差数列通项公式，列出方程组，求出的值，进而求出令根据题意令，即可求解.
【详解】设第n实验室的建设费用为万元，其中，则为等差数列，设公差为d，
则由题意可得，解得，则.
令，即，解得，又，所以，，
所以最多可以建设12个实验室.
故选：C.
2、A
【解析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.
【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，所以，
又因为为的中点，所以，
所以，
故选：A.
3、D
【解析】①：根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；
②：结合两点间距离公式、曲线方程特征进行判断即可；
③：根据卡西尼卵形线的定义，结合基本不等式进行判断即可；
④：根据方程特征，结合三角形面积公式进行判断即可.
【详解】当，时，.
①：因为以代方程不变，以代方程不变，同时代，以代方程不变，
所以曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本命题正确；
②：由，
所以有，
所以，当时成立，因此本命题正确；
③：因为，所以，当且仅当时，取等号，因此本命题正确；
④：，因为，
所以，的面积为，因此本命题正确，
故选：D
【点睛】关键点睛：利用方程特征进行求解判断是解题的关键.
4、B
【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果
【详解】因为，
所以，即
所以，
由双曲线的定义，知，
设，则，易得，
如图，作，为垂足，

则，所以，即，即双曲线的离心率为.
故选：B
5、C
【解析】根据椭圆、双曲线的定义及简单几何性质计算可得；
【详解】解：由题意，曲线C的方程为，
对于A中，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示椭圆，所以A错误；
对于B中，当曲线C的方程为表示焦点在x轴上的双曲线时，则满足，解得，
所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，所以B不正确；
对于C中，当曲线C的方程为表示焦点在x轴上的椭圆时，则满足，解得，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，所以C正确；
对于D中，当曲线C的方程为表示双曲线，且离心率为时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时，解得，此时方程表示圆，所以不正确.
故选：C.
6、B
【解析】由渐近线方程得到，焦点坐标为，渐近线方程为：，利用点到直线距离公式即得解
【详解】由题意，双曲线
故
焦点坐标为，渐近线方程为：
焦点到它的一条渐近线的距离为：
解得：
故选：B
7、C
【解析】根据题意椭圆焦点在轴上，且，将椭圆方程化为标准形式，从而得出，得出答案.
【详解】由焦点坐标是，则椭圆焦点在轴上，且
将椭圆化为，则
由，焦点坐标是，则，解得
故选：C
8、D
【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，
平移，当经过A时，
的最小值为-8，故选D.

9、A
【解析】由组合知识结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.
故选：A
10、D
【解析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.
【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.
故选：D
11、C
【解析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；
【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，
故选：C
12、B
【解析】由直线过且与椭圆相交于不同的两点，，且，为椭圆两焦点，根据椭圆的定义即可得△的周长为，则答案可求
【详解】椭圆，
椭圆的长轴长为，
∴△的周长为
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先由极差以及平均数得出，进而得出中位数.
【详解】由可得，，，因为乙得分的平均值为24，所以，所以甲、乙两组数据的中位数是.
故答案为：
14、
【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.
【详解】由点在圆C：内，且
所以，又，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又，
所以，解得
故答案为：
15、3
【解析】由题意求得抛物线的准线方程为，进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得，再结合和离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，
根据抛物线定义，可得，即，
所以抛物线的准线方程为，
又由双曲线C的两条渐近线方程为，
则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为，
解得，
又由，可得，
所以双曲线C离心率.
故答案为：3.
16、5
【解析】根据得出，设，从而利用双曲线的定义可求出，的关系，从而可求出答案.
【详解】设双曲线的焦距为，则，
因为，所以，
因为，不妨设，，
由双曲线的定义可得，所以，，
由勾股定理可得，，
所以，所以双曲线的离心率
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）
【解析】（1）根据题意以m表示出，由即可求出，进而求出；
（2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出，再利用错位相减法即可求出.
【详解】（1）由已知得，
，
，
，
，即，
又，，
，
；
（2）由（1）得，
当时，，
又，，
满足，
，
，
两式相减得
，
.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
18、（1）答案见解析，.
（2）.
【解析】（1）若选①：求得双曲线得双曲线的焦点得出椭圆的，再由，可求得椭圆的标准方程；
若选②：根据已知条件和椭圆的离心率可求得，从而得椭圆的标准方程；
若选③：由已知建立方程，求解可求得，从而得椭圆的标准方程.
（2）设直线的斜率为k，所求的直线方程为，代入椭圆的方程并整理得，设直线与椭圆的交点为，由根与系数的关系和中点坐标公式可求得答案.
【小问1详解】
解：若选①：由双曲线得双曲线的焦点和，
因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以椭圆的，
又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；
若选②：因为，所以，又离心率，所以，即，解得，所以椭圆的标准方程为；
若选③：因为，所以，即，又，解得，，所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
解：由题意得直线的斜率必存在，设直线的斜率为k，所求的直线方程为，
代入椭圆的方程并整理得，设直线与椭圆的交点为，
则，因为点为AB中点，所以，解得，
所以所求的直线方程为，即.
19、（1）
（2）或
【解析】（1）、由题意可知直线的方程为，圆的圆心为，半径为，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理即可求出与圆相交所得的弦长；
（2）、设，因为为的中点，所以，又因为，均在圆上，将，坐标代入圆方程，即可求出点坐标，即可求出直线的方程
【小问1详解】
由题意：直线过坐标原点，且直线的斜率为直线的方程为，
圆的方程为圆的方程可化为：
圆的圆心为，半径为
圆的圆心到直线：的距离为，
与圆相交所得的弦长为
【小问2详解】
设，为的中点 ，
又，均在圆上，
或直线方程或
20、（1）证明见详解；
（2）证明见详解； （3）
【解析】小问1：由于，根据线面平行判定定理即可证明；
小问2：以为原点，分别为轴建立空间坐标系，根据向量垂直关系即可证明；
小问3：分别求得平面与平面的法向量，根据向量夹角公式即可求解
【小问1详解】
在直三棱柱中，，且平面，平面
所以AC平面；
【小问2详解】
因为，故以为原点，分别为轴建立空间坐标系如图所示：
则，
所以
则
所以又
平面，平面
故平面；
【小问3详解】
由，得，
设平面的一个法向量为
则得
又因为平面的一个法向量为
所以
所以二面角的大小为

21、（1）；（2）
【解析】(1)设点和，由题意可得点的轨迹方程，将点Q的坐标代入T的方程计算出即可；
(2)设的方程，和，联立椭圆方程并消元得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理得到，进而求出和，根据平行线间的距离公式可得与的距离，得出所求四边形面积的表达式，结合换元法和基本不等式化简求值即可.
【详解】解：（1）设点，，
则点，，，
∵，∴，∴，
∵点在椭圆上，
∴，即为点的轨迹方程

又∵点的轨迹是过的圆，
∴，解得，
所以椭圆的方程为
（2）由题意，可设的方程为，
联立方程，得
设，，
则，且，
所以，
同理，
又与的距离为，
所以，四边形的面积为，
令，则，
且，
当且仅当，即时等号成立
所以，四边形的面积最大值为
22、（1）
（2）.
【解析】(1)由数列的前n项和与通项公式之间的关系即可完成.
(2)由错位相减法即可解决此类“差比”数列的求和.
【小问1详解】
由，
得当时，，
上下两式相减得，，
又当时，满足上式，
所以数列的通项公式；
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
则，
上下两式相减得
，
所以.