山东聊城市2025-2026学年数学高二第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

山东聊城市2025-2026学年数学高二第一学期期末检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列满足：对任意的均有成立，且，，则该数列的前2022项和（ ）
A 0 B.1
C.3 D.4
2．若定义在R上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（）

A. B.
C. D.
3．已知函数，则（　　）
A.0 B.1
C.2 D.
4．在中国共产党建党100周年之际,广安市某中学组织了“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生1000人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为25的样本参加活动,其中高二年级抽取了8人,则该校高二年级学生人数为()
A.960 B.720
C.640 D.320
5．设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（）
A. B.
C.4 D.
7．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
8．命题“，”的否定是
A ， B.，
C.， D.，
9．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B.5
C. D.7
10．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（）
A. B.
C. D.
11．设是公差的等差数列，如果，那么（）
A. B.
C. D.
12．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设过点K (-1，0）的直线l与抛物线C：y2 =4x交于A、B两点，为抛物线的焦点，若|BF| =2|AF|，则cos ∠AFB =_______
14．设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的x的取值范围是_________.
15．已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为，则____．
X
1
4
9
16
25
Y
2
a
36
93
142

16．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，，在的准线上的投影分别为，两点，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是等差数列，是等比数列，且
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（12分）已知等比数列满足，
（1）求数列通项公式；
（2）记，求数列的前n项和
19．（12分）已知椭圆焦距为，点在椭圆C上
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线上任意一点，设直线的斜率分别为，若，求的方程
20．（12分）求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1），焦点在轴上的双曲线的标准方程；
（2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程
21．（12分）如图，四边形是正方形，平面，，

（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值
22．（10分）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据可知，数列具有周期性，即可解出
【详解】因为，所以，即，所以数列中的项具有周期性，，由，，依次对赋值可得，，一个周期内项的和为零，而，
所以数列的前2022项和
故选：A
2、A
【解析】由函数单调性得出和的解，然后分类讨论解不等式可得
【详解】由图象可知：在为正，在为负，
，可化为：或，解得或
故选：A
3、C
【解析】对函数f(x)求导即可求得结果.
【详解】函数,则，
，
故选C
【点睛】本题考查正弦函数的导数的应用，属于简单题.
4、D
【解析】由分层抽样各层成比例计算即可
【详解】设高二年级学生人数为,则,解得
故选:D
5、C
【解析】先求出代表的是以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），数形结合得到取得最小值时a的值，得到圆心C，利用点到直线距离求出圆心C到直线的距离，数形结合求出半径r的取值范围.
【详解】，两边平方得：，即点P在以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），如图所示：

因为Q的坐标为，则在直线，过点A作⊥l于点，与半圆交于点，此时长为的最小值，则，所以直线：，与联立得：，所以，解得：，则圆C：，则，圆心到直线的距离为，要想圆C上恰有2个点到直线的距离为1，则.
故选：C
6、A
【解析】由，可得，再计算即可求解.
【详解】由题意可知，所以，即.
故选：A
7、C
【解析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.
【详解】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，
则所求概率为.
由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，
所以，，
故.
故选：C.
8、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，
考点：全称命题与特称命题
9、D
【解析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以方程的根为，
所以，得，
所以，
故选：D
10、B
【解析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程
【详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为
故选：B
11、D
【解析】由已知可得，即可得解.
【详解】由已知可得
.
故选：D.
12、A
【解析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可
【详解】解：由已知得,，
则，
故选：A
【点睛】此题考查条件概率问题，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据已知设直线方程为与C联立，结合|BF| =2|AF|，利用韦达定理计算可得点AB的坐标，进而求出向量的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案.
【详解】令直线的方程为将直线方程代入批物线C: 的方程，
得令且，
所以
由抛物线的定义知，
由|BF| =2|AF|可知，，则，
解得：，，
则A，B两点坐标分别为，则
则.
故答案为：
14、
【解析】构造函数利用导数研究单调性，即可得到答案；
【详解】，令，
，
单调递减，且，
，
x的取值范围是，
故答案为：
15、17
【解析】根据回归直线必过样本点中心即可解出
【详解】因为，，所以
，解得
故答案为：17
16、
【解析】设，则，将直线方程与抛物线方程联立结合韦达定理即得.
【详解】由抛物线：可知则焦点坐标为，
∴过焦点且斜率为的直线方程为,化简可得，
设，则，
由可得，
所以
则
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】（1）由，根据等比数列的性质求得、的值，即可得的通项公式，再根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）结合（1）可得，根据错位相减法，利用等比数列求和公式可得结果.
【详解】（1）等比数列的公比，
所以，
设等差数列公差为
因为，，
所以，即
所以
（2）由（1）知，，
因此

从而数列的前项和,

,
,
两式作差可得,
,
解得.
【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
18、（1）
（2）
【解析】（1）通过基本量列方程组可得；
（2）由裂项相消法可解
【小问1详解】
由题意得
解得，所以数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）知，则
所以

19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由焦距为解出，再把点代入椭圆方程中，即可解出答案.
（2）根据题意求出当直线与轴重合时，由求出值，即求出的方程为.故只需证：当直线与轴不重合时，上任意一点均使，设出直线方程与椭圆进行联立，化简得证，即可得到答案.
【小问1详解】
.
由于点在椭圆C上，则

故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
当直线与轴重合时，是椭圆的左右顶点，不妨设，设，
则

是上的任意一点，即方程对任意实数都成立，

此时的方程为.
故只需证：当直线与轴不重合时，上任意一点均使即可，
设直线的方程为，，设
则
由

得证.
故的方程为.
20、（1）；（2）或
【解析】（1）设方程为（，），即得解；
（2）由题得，即得解.
【详解】（1）解：由题意，设方程为（，），
，，
，，
所以双曲线的标准方程是
（2）焦点到准线的距离是2，
，
∴当焦点在轴上时，抛物线的标准方程为或
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接与交于点O，易得平面，取的中点M，易得为平行四边形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理证明；
（2）以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，根据与平面所成角为，由，解得，然后分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由求解.

【详解】（1）如图所示：

连接与交于点O，因为为正方形，故，
又平面，故，由，
故平面，
取的中点M，连接，注意到为的中位线，
故，且，
因此，且，
故为平行四边形，即，
因此平面，而平面，
故平面平面
（2）以A坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设，
则，
由（1）可知平面，因此平面的一个法向量为，
而，
由与平面所成角为，得，
即，解得；
则，
设平面的一个法向量为，
则得
令，则，故
设平面的一个法向量，
则得
令，则，，故
所以，
注意到二面角为钝二面角，
故二面角的余弦值为
22、（1）；（2）.
【解析】（1）首先求导函数，计算，接着根据导数的几何意义确定切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可;
（2）因为点不在曲线上，所以设切点为，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点求解，最后写出切线方程即可.
【详解】（1）.
，.
所以曲线在处的切线方程为，
即
（2）设切点为，则曲线在点处的切线方程为，
代入点得，，.
所以曲线过点的切线方程为，
即.