广东省阳山中学2026届数学高二第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

广东省阳山中学2026届数学高二第一学期期末教学质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）

A. B.
C. D.
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（）
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
3．函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4．直线的倾斜角大小为（ ）
A. B.
C. D.
5．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
6．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）.

A.函数在上是增函数
B.
C.
D.是函数的极小值点
7．下列椭圆中，焦点坐标是的是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知命题：，；命题：在中，若，则，则下列命题为真命题的是（）
A. B.
C. D.
9．甲、乙两名同学同时从教室出发去体育馆打球（路程相等），甲一半时间步行，一半时间跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相等，则（）
A.甲先到体育馆 B.乙先到体育馆
C.两人同时到体育馆 D.不确定谁先到体育馆
10．原点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
11．不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
12． “”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆C：和点，若点N为圆C上一动点，点Q为平面上一点且，则Q点纵坐标的最大值为______
14．已知直线与直线平行，则实数m的值为______
15．已知，且，则_____________
16．与双曲线有共同渐近线，并且经过点的双曲线方程是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）求函数单调区间；
（2）函数在区间上的最小值小于零，求a的取值范围
18．（12分）某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、.

（1估计该班本次测试的平均分；
（2）在、中按分层抽样的方法抽取个数据，再从这个数据中任抽取个，求抽出个中至少有个成绩在中的概率.
19．（12分）设数列的前项和，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前项和，求使成立的的最小值
20．（12分）如图，在长方体中，，．点E在上，且

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值
21．（12分）已知函数在处的切线与轴平行
（1）求的值；
（2）判断在上零点的个数，并说明理由
22．（10分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点.

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.
【详解】解：由题得, ,

故选：B

2、A
【解析】根据正态曲线的对称性即可求得答案.
【详解】由题意，正态曲线的对称轴为，则与关于对称轴对称，于是.
故选：A.
3、A
【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
4、B
【解析】将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.
【详解】由直线可得，
所以，
设倾斜角为，则
因为
所以
故选：B
5、C
【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.
【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，
分别于联立，解得：，，
所以中点坐标为，
因为点满足，
所以，
所以，即，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.
6、B
【解析】根据导函数的图像，可求得函数的单调区间，再根据极值点的定义逐一判断各个选项即可得出答案.
【详解】解：根据函数的导函数的图象，
可得或时，，当或时，，
所以函数在和上递减，在和上递增，
故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
是函数的极大值点，故D错误.
故选：B.
7、B
【解析】根据给定条件逐一分析各选项中的椭圆焦点即可判断作答.
【详解】对于A，椭圆的焦点在x轴上，A不是；
对于B，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，B是；
对于C，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，C不是；
对于D，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，D不是.
故选：B
8、C
【解析】分别求得的真假性，从而确定正确答案.
【详解】对于，由于，所以为假命题，为真命题.
对于，在三角形中，，由正弦定理得，所以为真命题，为假命题.
所以为真命题，、、为假命题.
故选：C
9、A
【解析】设出总路程与步行速度、跑步速度，表示出两人所花时间后比较不等式大小
【详解】设总路程为，步行速度，跑步速度
对于甲：，得
对于乙：
，当且仅当时等号成立，
而，故，乙花时间多，甲先到体育馆
故选：A
10、C
【解析】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；
【详解】因为可化为，
所以直线过直线与直线交点，
联立可得
所以直线过定点，
当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，
此时最大值为，
故选：C.
11、B
【解析】解不等式，由此判断必要不充分条件.
【详解】，解得，
所以不等式的一个必要不充分条件是.
故选：B
12、D
【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】由，可得，即，
当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；
反之当时也不一定成立，所以必要性不成立，
所以是的即不充分也不必要条件.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设出点N的坐标，探求出点Q的轨迹，再求出轨迹上在x轴上方且距离x轴最远的点的纵坐标表达式，借助函数最值计算作答.
【详解】圆C：的圆心，半径，圆C与x轴相切，
依题意，点M在圆C上，设点，则，线段MN中点，
因，则点Q的轨迹是以线段MN为直径的圆(除点M，N外)，这个轨迹在x轴上方，
于是得这个轨迹上的点到x轴的最大距离为：

令，于是得，当，即时，，
所以Q点纵坐标的最大值为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：圆上的点到定直线距离的最大值等于圆心到该直线距离加半径.
14、
【解析】由两直线平行的判定可得求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况.
【详解】由题设，，解得，经检验满足题设.
故答案为：
15、2
【解析】由共线向量得，解方程即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：2
16、
【解析】设双曲线的方程为，将点代入方程可求的值，从而可得结果
【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，
该双曲线经过点，

所求的双曲线方程为：，
整理得
故答案为
【点睛】本题考查双曲线的方程与简单性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．与共渐近线的双曲线方程可设为，只需根据已知条件求出即可.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）对求导并求定义域，讨论、分别判断的符号，进而确定单调区间.
（2）由题设，结合（1）所得的单调性，讨论、、分别确定在给定区间上的最小值，根据最小值小于零求参数a的范围.
【小问1详解】
由题设，且定义域为，
当，即时，在上，即在上递增；
当，即时，在上，在上，所以在上递减，在上递增；
【小问2详解】
由（1）知：
若，即时，则在上递增，故，可得；
若，即时，则在上递减，在上递增，故，不合题设；
若，即时，则在上递减，故，得；
综上，a的取值范围.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得的值；
（2）分析可知，所抽取的个数据中，成绩在内的有个，分别记为、、、，成绩在内的有个，分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：由频率分布直方图可得.
【小问2详解】
解：因为数学成绩在、内的频率分别为、，
所以，所抽取的个数据中，成绩在内的有个，分别记为、、、，
成绩在内的有个，分别记为、，
从这个数据中，任取抽取个，所有的基本事件有：、、、、
、、、、、、、、、、，共个，
其中，事件“抽出个中至少有个成绩在中”所包含的基本事件有：、
、、、、、、、，共个，
故所求概率为.
19、 (1).(2)10.
【解析】（1）借助于将转化为，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列的通项公式，可知数列为等比数列，求得前n项和，代入不等式可求得n的最小值
试题解析：（1）由已知，有，
即
从而
又因为成等差数列，即
所以，解得
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列
故
（2）由（1）得．所以
由，得，即
因为，
所以．于是，使成立的n的最小值为10
考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出，，的坐标，证明，，即可得证；
（2）由（1）知，的法向量为，直接写出平面法向量，按照公式求解即可.
【小问1详解】
在长方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系

因为，，
所以，，，，，
则，，，
所以有，，则，，又
所以平面
小问2详解】
由（1）知平面的法向量为，而平面法向量为
所以，
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为
21、（1）0（2）f（x）在（0，π）上有且只有一个零点，理由见解析
【解析】1）利用导数的几何意义求解；
（2）由，可得，令，，，，利用导数法求解.
【小问1详解】
解：，
所以k=f′（0）=-a=0，所以a=0；
【小问2详解】
由，可得，
令，，
所以，
①当时，sinx＋cosx≥1，ex＞1，所以g′（x）＞0，
所以g（x）在上单调递增，又因为g（0）=0，
所以g（x）在上无零点；
②当时，令，
所以h′（x）=2cosx× ex＜0，即h（x）在上单调递减，
又因为，h（π）=-eπ-1＜0，
所以存在，，
所以g（x）在上单调递增，在上单调递减，
因为，g（π）=-π＜0，
所以g（x）在上且只有一个零点；
综上所述：f（x）在（0，π）上有且只有一个零点
22、 (1)见解析;(2).
【解析】分析：依题意可知两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，
（1）利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可证得线面平面；
（2）求出两个平面的法向量，利用两个向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.
详解：依条件可知、、两两垂直，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系.

根据条件容易求出如下各点坐标：，，，，，，，.
（Ⅰ）证明：∵，，
是平面的一个法向量，且，
所以.
又∵平面，∴平面；
（Ⅱ）设是平面的法向量，
因为，，
由，得.
解得平面的一个法向量，
由已知，平面的一个法向量为，
，
∴二面角的余弦值是.
点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.