广东省广州市广东实验中学2025-2026学年高二上数学期末学业质量监测试题含解析.doc

广东省广州市广东实验中学2025-2026学年高二上数学期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆与直线的位置关系为（）
A.相切 B.相离
C.相交 D.无法确定
2．若，则与的大小关系是（）
A. B.
C. D.不能确定
3．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A.a≥4 B.a≤4
C.a≥5 D.a≤5
4．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．直线（t为参数）被圆所截得的弦长为（）
A. B.
C. D.
6．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于PQ两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则（）
A.8 B.7
C.6 D.5
7．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（ ）

A.7 B.10
C.12 D.14
8．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A.0.16 B.0.32
C.0.68 D.0.84
9．已知各项都为正数的等比数列，其公比为q，前n项和为，满足，且是与的等差中项，则下列选项正确的是（）
A. B.
C D.
10．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（ ）
A.2 B.
C. D.
11．中，，，分别为三个内角，，的对边，若，，，则（）
A. B.
C. D.
12．设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点坐标为，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的常数项为_______.
14．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是_________.
15．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且，则抛物线C的准线方程为___________.
16．已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线，与直线和椭圆分别交于两点，与不重合）.判断以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.
18．（12分）已知直线，直线经过点且与直线平行，设直线分別与x轴，y轴交于A，B两点.
（1）求点A和B的坐标；
（2）若圆C经过点A和B，且圆心C在直线上，求圆C的方程.
19．（12分）在等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
20．（12分）已知函数．若图象上的点处的切线斜率为
（1）求a，b的值；
（2）的极值
21．（12分）已知正项等差数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
22．（10分）已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足(且)，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交.
【详解】直线可化为，所以恒过定点.
把代入，有：，
所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
2、B
【解析】由题知，进而研究的符号即可得答案.
详解】解：，
所以，即.
故选：B
3、C
【解析】先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为
的真子集，由选择项不难得出答案
【详解】命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，恒成立
即只需，
即命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的的充要条件为，
而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知 C 符合题
意.
故选：C
4、A
【解析】根据两直线平行的充要条件求出a的值，然后可判断.
【详解】当时，，所以两直线平行；若两直线平行，则且，解得或，所以，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A
5、C
【解析】求得直线普通方程以及圆的直角坐标方程，利用弦长公式即可求得结果.
【详解】因为直线的参数方程为：（t为参数），故其普通方程为，
又，根据，故可得，
其表示圆心为，半径的圆，
则圆心到直线的距离，
则该直线截圆所得弦长为.
故选：C.
6、C
【解析】依据抛物线定义可以证明：以过抛物线焦点F的弦PQ为直径的圆与其准线相切，则可以顺利求得线段的长.
【详解】抛物线的焦点F，准线
取PQ中点H，分别过P、Q 、H作抛物线准线的垂线，垂足分别为N、M、E

则四边形为直角梯形，为梯形中位线，
由抛物线定义可知， ,，则
故，即点H到抛物线准线的距离为的一半，
则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.又以线段PQ为直径的圆与直线相切，
则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线与直线间的距离.
即
故选：C
7、A
【解析】可由椭圆方程先求出，在利用椭圆的定义求出，利用已知求解出，再取的中点，连接，利用中位线，即可求解出线段的中点到坐标原点的距离.
【详解】
因为椭圆，，所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.
故选：A.
8、C
【解析】根据对称性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.
【详解】∵随机变量服从正态分布，

∴

故选：C.
9、D
【解析】根据题意求得，即可判断AB，再根据等比数列的通项公式即可判断C；再根据等比数列前项和公式即可判断D.
【详解】解：因为各项都为正数的等比数列，，
所以，
又因是与的等差中项，
所以，
即，解得或（舍去），故B错误；
所以，故A错误；
所以，故C错误；
所以，故D正确.
故选：D.
10、C
【解析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.
【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，
由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，
所以是等边三角形，故，因此，
因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：
，由矩形的性质可知：，
由双曲线的定义可知：，

故选：C
【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.
11、C
【解析】利用正弦定理求解即可.
【详解】，，，
由正弦定理可得，
解得，
故选：C.
12、B
【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，进而把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，即可求解
【详解】解：由题意，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，

当D，P，M三点共线时，|PM|+|PD|取得最小值为
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、15
【解析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而可得展开式中的常数项
【详解】二项式展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中的常数项为
故答案为：15
14、##
【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.
【详解】，
画出可行域如下图所示，
由图可知，平移基准直线到点时，
取得最大值为.
故答案为：

15、
【解析】将直线与抛物线联立结合抛物线的定义即可求解.
【详解】解：直线与抛物线相交于A，B两点
设，
直线与抛物线联立得：

所以
所以

即
解得：
所以抛物线C的准线方程为：.
故答案为：.
16、2
【解析】设抛物线的焦点为，由，结合抛物线的定义可得线段的中点到轴距离的最小值.
【详解】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则

,
∴ ，当且仅当即三点共线时等号成立，
∴ 线段的中点到轴距离的最小值是2，
故答案为：2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）过定点，定点为
【解析】（1）根据离心率及顶点坐标求出即可得椭圆方程；
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为（），求出的坐标，设是以为直径的圆上的点，利用向量垂直可得恒成立，可得定点，斜率不存在时验证即可.
【小问1详解】
由题意得，，，
又因为，所以.
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
以为直径的圆过定点.理由如下：
当直线斜率存在时，设直线的方程为（）.
令，得，所以.
由得，则或，
所以.
设是以为直径的圆上的任意一点，
则，.
由题意，，
则以为直径的圆的方程为.
即恒成立
即解得
故以为直径的圆恒过定点.
当直线斜率不存在时，以为直径的圆也过点.
综上，以为直径的圆恒过定点.
18、（1），；
（2）.
【解析】（1）由直线平行及所过的点，应用点斜式写出直线方程，进而求A、B坐标.
（2）由（1）求出垂直平分线方程，并联立直线求圆心坐标，即可求圆的半径，进而写出圆C的方程.
【小问1详解】
由题设，的斜率为，又直线与直线平行且过，
所以直线为，即，
令，则；令，则.
所以，.
【小问2详解】
由（1）可得：垂直平分线为，即，
联立，可得，即，故圆的半径为，
所以圆C的方程为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；
（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则，
∴，
由，
∴，
∴数列的通项公式为.
【小问2详解】
∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴，即，
∴，
∴

.
20、（1）
（2）极大值为，极小值为
【解析】（1）求出函数的导函数，再根据图象上的点处的切线斜率为，列出方程组，解之即可得解；
（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得
，令，得
或，，

－1
（－1，3）
3

＋
0
－
0
＋

的极大值为，极小值为.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）设数首项为，公差为，由，，列出方程组，求得，，即可求出数列的通项公式；
（2），利用列项相消求和法即可得出答案.
【详解】（1）设数首项为，公差为，
由题得.
解得，，（负值舍去）
所以；
（2）由（1）得
则
.
22、（1），；
（2）.
【解析】(1)根据，列方程组即可求解数列的通项公式，根据可求数列的通项公式；
(2)化简，利用裂项相消法求该数列前n项和.
【小问1详解】
设等差数列公差为d，
∵，∴，
∵公差，∴.
由得，即，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴；
【小问2详解】
∵，∴，
.