山东省邹城市第二中学2025年高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

山东省邹城市第二中学 2025 年高二数学第一学期期末监测模拟试题 请考生注意：请考生注意：1 1请用请用 2B2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0 05 5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2 2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A.10 xy B.21yx C.1y D.2x 2已知命题 p：0 x，总有1 e1xx，则p为（）A.00 x，使得001 e1xx B.00 x，使得001 e1xx C.0 x，总有1 e1xx D.0 x，总有1 e1xx 3已知等差数列 na的前n项和为nS，且38aam，10Spm，则p（）A.3 B.5 C.6 D.10 4点1,1A，1F是椭圆22143xy的左焦点，p是椭圆上任意一点，则1|PFPA的取值范围是（）A.3 5，B.3，C.35，D.(5)，5“02n”是“方程22113xynn表示双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6直线350 xy被圆223xy所截得的弦长为（）A.10 B.3 C.2 D.1 7椭圆2224xy的焦点坐标为（）A.2,0，2,0 B.0,2，0,2 C.6,0，6,0 D.0,6，0,6 8已知椭圆222210 xyabab的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为(c,0)F，若NM NFacuuur uuu r，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A.0,21 B.0,21 C.21,1 D.21,1 9直线l的一个方向向量为(2,3)，则它的斜率k为（）A.32 B.12 C.12 D.32 10在等差数列 na中，263aa，377aa，则公差d A.1 B.2 C.3 D.4 11 随着城市生活节奏的加快，网上订餐成为很多上班族的选择，下表是某外卖骑手某时间段订餐数量x与送餐里程y的统计数据表：订餐数x/份 12 23 31 送餐里程y/里 15 30 45 现已求得上表数据的回归方程ybxa中的b值为 1.5，则据此回归模型可以预测，订餐 100份外卖骑手所行驶的路程约为（）A.155里 B.145 里 C.147 里 D.148里 12用反证法证明命题“a，bN，如果 ab 可以被 5整除，那么 a，b 至少有 1个能被 5整除”假设内容是()A.a，b都能被 5 整除 B.a，b都不能被 5 整除 C.a不能被 5 整除 D.a，b有 1 个不能被 5整除 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13在等差数列 na中，前 n项和记作nS，若15265kSaaa，则k _ 14如图，某建筑物的高度300BCm，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15，地面某处A的俯角为45，且60BAC，则此无人机距离地面的高度PQ为_m 15记nS为等差数列 na的前 n 项和若1262,2aaa，则10S_ 16一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2，该圆柱的表面积为.三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在等差数列 na中，记nS为数列 na的前n项和，已知：25510,30aaS .（1）求数列 na的通项公式；（2）求使nnSa成立的n的值.18（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E的焦点为123,0,3,0FF，且过点13,2，椭圆E的上、下顶点分别为,A B，右顶点为D，直线l过点D且垂直于x轴 （1）求椭圆E的标准方程；（2）若点Q在椭圆E上（且在第一象限），直线AQ与l交于点N，直线BQ与x轴交于点M，试问：2OMDN是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由 19（12 分）已知圆C：222316xy与直线l：21 29120k xk yk.（1）证明：直线l过定点，并求出其坐标；（2）当-1k 时，直线 l与圆 C交于 A，B两点，求弦AB的长度.20（12 分）已知等比数列 na满足26a，13630aa.（）求 na的通项公式；（）若12a，设23nnbn a（*Nn），记数列 nb的前 n 项和为nS，求nS.21（12 分）设p：实数x满足224300 xaxaa，q：实数x满足302xx（1）若1a，且pq为真，求实数x的取值范围；2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围 22（10 分）2021年 7 月 29 日，中国游泳队获得了女子4 200米自由泳接力决赛冠军并打破世界纪录.受奥运精神的鼓舞，某游泳俱乐部组织 100名游泳爱好者进行自由泳 1500 米测试，并记录他们的时间（单位：分钟），将所得数据分成 5 组：15,25)，25,35)，35,45)，45,55)，55,65，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求出直方图中 m的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计这 100位游泳爱好者 1500米自由泳测试时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）.参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先由直线方程找到直线的斜率，再推导出直线的倾斜角即可.【详解】选项 A：直线10 xy 的斜率1k，则直线倾斜角为4，是锐角，判断正确；选项 B：直线21yx 的斜率20k ，则直线倾斜角为钝角，判断错误；选项 C：直线1y 的斜率0k，则直线倾斜角为 0，不是锐角，判断错误；选项 D：直线2x 没有斜率，倾斜角为直角，不是锐角，判断错误.故选：A 2、B【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题 p：0 x，总有1 e1xx是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即00 x，使得001 e1xx，故选：B 3、B【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为数列 na为等差数列，由38aam，10Spm可得，110103810552aaSaampm，则5p.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前n项和的基本量运算，属于基础题型.4、A【解析】由12|2|PFPAaPAPF，当2,P A F三点共线时，取得1|PFPA最值【详解】设2F是椭圆22143xy的右焦点，则12|2|PFPAaPAPF 又因为222|AFPAPFAF，2221 11 01AF，2a 所以232|5aPAPF，则13|5PAPF 故选：A 5、A【解析】方程22113xynn表示双曲线则1+30nn（），解得13n ，02n是“方程22113xynn表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A 6、A【解析】求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由圆的方程223xy可知圆心为0,0，半径为3，圆心到直线350 xy的距离2252213d，所以弦长为22223102.故选：A.7、A【解析】由题方程化为椭圆的标准方程求出 c，则椭圆的焦点坐标可求【详解】由题得方程可化为，22142xy 所以2224,2,422abc 所以焦点为(2,0)故选：A.8、B【解析】根据题意得到(,),(,)NMab NFcb uuuruuu r，根据NM NFacuuur uuu r，化简得到222acac，进而得到离心率的不等式，即可求解.【详解】由题意，椭圆222210 xyabab的左顶点为(,0)Ma，上顶点为(0,)Nb，所以(,)NMab uuur，(,)NFcbuuu r，因为NM NFacuuur uuu r，可得2acbac，即22bac，又由222bac，可得222acac，可得2210ee，解得122 1e ，又因为椭圆的离心率(0,1)e，所以02 1e，即椭圆的离心率为0,21.故选：B.【点睛】求解椭圆或双曲线离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.9、A【解析】根据l的方向向量求得斜率k.【详解】3(2,3)2(1,)2且(1,)k是直线的方向向量，32k.故选：A 10、B【解析】由377aa，将37,a a转化为26,a a表示，结合263aa，即可求解.【详解】37262327aaaadd，7322d.故选:B.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.11、C【解析】由统计数据求样本中心，根据样本中心在回归直线上求得3a，即可得回归方程，进而估计100 x 时的 y值即可.【详解】由题意：122331223x，153045303y，则30 22 1.5a，可得3a，故1.53yx，当100 x 时，147y.故选：C 12、B【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bN，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“a，b 都不能被 5 整除”考点：反证法 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13、16【解析】根据等差数列前n项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得；【详解】解：因为15265kSaaa，所以115261552kaaaaa，即82615 252kaaaa，所以8263kaaaa，所以 826111113375151kaaaaadadadadakd，所以16k；故答案为：16 14、200【解析】在 RtABC中求得 AC的值，ACQ中由正弦定理求得 AQ 的值，在 RtAPQ 中求得 PQ的值【详解】根据题意，可得 RtABC 中，BAC60，BC300，AC3006032BCsin2003；ACQ 中，AQC45+1560，QAC180456075，QCA180AQCQAC45，由正弦定理，得4560AQACsinsin，解得 AQ2200 32322002，在 RtAPQ 中，PQAQsin45200222200m 故答案为 200【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，考查正弦定理，三角形内角和问题，考查转化化归能力，是基础题 15、25【解析】因为 na是等差数列，根据已知条件262aa，求出公差，根据等差数列前n项和，即可求得答案.【详解】na是等差数列，且12a ，262aa 设 na等差数列的公差d 根据等差数列通项公式：11naand 可得1152adad 即：2252dd 整理可得66d 解得：1d 根据等差数列前n项和公式：*1(1),2nn nSnad nN 可得：1010(101)1022045252S 1025S.故答案：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n项和，解题关键是掌握等差数列的前n项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.16、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）212nan；（2）1n 或12n.【解析】(1)根据给定条件求出数列 na的公差及首项即可计算作答.(2)由(1)求出nS，建立方程求解作答.【小问 1 详解】设等差数列 na公差为d，因25510,30aaS ，则11251051030adad ，解得1102ad，于是得1(1)212naandn，所以数列 na的通项公式为：212nan.【小问 2 详解】由(1)知，1(11)2nnaSann n，由nnSa得：(11)212n nn，即213120nn，解得1n 或12n，所以使nnSa成立的n的值是1n 或12n.18、（1）2214xy （2）2OMDN为定值，该定值为 2【解析】（1）先根据焦点形式设出椭圆方程和焦距，根据椭圆经过13,2和半焦距为 3易得椭圆的标准方程；（2）设00,Q x y，分别表示出直线,AQ BQ方程，进而求得点N的纵坐标，点M横坐标，即可表示出2OMDN，即可求得答案【小问 1 详解】由焦点坐标可知，椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆E：222210 xyabab，焦距为20c c，因为椭圆E经过点13,2，焦点为123,0,3,0FF 所以223114ab，222233cab，解得224,1ab，所以椭圆E的标准方程为2214xy；【小问 2 详解】设00,Q x y，由椭圆的方程可知22000010,04xyxy，因为2,0D，则直线:2l x，由已知得，直线,AQ BQ斜率均存在，则直线001:1yAQ yxx，令2x 得00211Nyyx，直线001:1yBQ yxx，令0y 得001Mxxy，因为点Q在第一象限，所以002(1)1yDNx，001xOMy，则22000000004(1)442221(1)OxyxyyxNxMDy，又因为220014xy，即2200440 xy，所以22OMDN 所以2OMDN为定值，该定值为 2.19、（1）证明见解析，(3,6)P（2）2 6【解析】（1）将直线l方程化为 292120k xyxy，解方程2902120 xyxy得出定点；（2）求出圆心C到直线l的距离d，再由几何法得出弦长.【小问 1 详解】证明：因为直线:21 29120lk xk yk，所以 292120k xyxy令2902120 xyxy，解得36xy，所以不论k取何值，直线l必过定点3,6P【小问 2 详解】当1k 时，直线l为3210 xy，圆心(2,3),4Cr 圆心C到直线l的距离2921101 9d，则2222 16 102 6ABrd 20、（）12 3nna或13 2nna；（）1(1)22nnSn.【解析】（）设等比数列 na的公比为 q，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（）由（）及已知可得13 2nna 和223nnnbn an（*nN），运用错位相减法可求得数列的和【详解】解：（）设等比数列 na的公比为 q，由26a，可得16a q，记为 又因为13630aa，可得12630aa q，即15aq记为，由可得123aq或132aq，故 na的通项公式为12 3nna或13 2nna （）由（）及12a 可知13 2nna，所以223nnnbn an（*nN），所以121 2222nnSn 23121 2222nnSn 得1212222nnnSn 111222(1)22nnnnn ，所以1(1)22nnSn【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若 na是等差数列，nb是等比数列，求1 12 2n naba ba b.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有11111n nnn，11 11222n nnn，111121 212 2121nnnn等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.21、（1）2,3（2）1,2【解析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题 p，q为真时实数 x 的取值范围，再求交集即可；（2）先求得,3Aa a，再根据p是q的必要不充分条件可得AB，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可【小问 1 详解】当1a 时，2430 xx，解得13x，即 p为真时，实数 x 的取值范围为13x 由302xx，解得23x，即 q为真时，实数 x 的取值范围为23x 若pq为真，则1323xx，解得实数 x的取值范围为2,3【小问 2 详解】若 p是 q 的必要不充分条件，则qp且pq 设 Ax p x，Bx q x，则AB，又2,3B 由22430 xaxa，得30 xaxa，因为0a，则,3Aa a，有233aa，解得12a 因此 a 的取值范围为1,2 22、（1）0.022（2）40.9，40.75【解析】（1）利用频率之和也即各矩形的面积和为 1 即可求解.（2）利用平均数和中位数的计算方法求解即可.【小问 1 详解】由10(0.0050.0400.0250.008)1m，可得0.022m.【小问 2 详解】平均数为：20 0.05 30 0.2240 0.40 50 0.25 60 0.0840.9x，设中位数为n，则0.050.22(35)0.040.5n，解得40.75n.