2026届福建省泉州市奕聪中学数学高二第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2026届福建省泉州市奕聪中学数学高二第一学期期末达标检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）

A. B.
C. D.
2．如图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是（ ）

A.2 B.3
C.4 D.5
3．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（ ）

网站①评价人数
网站①好评率
网站②评价人数
网站②好评率
餐馆甲
1000
95%
1000
85%
餐馆乙
1000
100%
2000
80%
餐馆丙
1000
90%
1000
90%
餐馆丁
2000
95%
1000
85%
A.餐馆甲 B.餐馆乙
C.餐馆丙 D.餐馆丁
4．设，，且，则等于（）

A. B.
C. D.
5．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）

A.2 B.6
C.14 D.30
6．已知，则的最小值是（）
A.3 B.8
C.12 D.20
7．已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（）
A. B.
C. D.
8．已知，若，是第二象限角，则=（）
A. B.5
C. D.10
9．4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）
A.24种 B.81种
C.64种 D.256种
10．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）

A. B.
C. D.
11．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，、分别是的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则的离心率为（）
A. B.
C. D.
12．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为__
14．正方体的棱长为2，点为底面正方形的中心，点在侧面正方形的边界及其内部运动，若，则点的轨迹的长度为______
15．已知空间向量，则使成立的x的值为___________
16．与直线平行，且距离为的直线方程为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
（1）求直线AB的方程；
（2）若M为圆上的一点，求面积的最大值
18．（12分）已知数列满足
（1）求；
（2）若，且数列的前n项和为，求证：
19．（12分）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知_________.
（1）求的值；
（2）若，求值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20．（12分）已知命题p为“方程没有实数根”，命题q为“”.
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若p和q有且只有一个为真命题，求m的取值范围.
21．（12分）设数列的前项和，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前项和，求使成立的的最小值
22．（10分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解当地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：

（1）求的值；
（2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.
【详解】，所以实数组
故选：B
2、B
【解析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.
【详解】初始值：，
当时，，进入循环；
当时，，进入循环；
当时，，
终止循环，输出的值为3.
故选：B
3、D
【解析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答.
【详解】餐馆甲的总好评率为：，
餐馆乙的总好评率为：，
餐馆丙的好评率为：，
餐馆丁的好评率为：，
显然，所以餐馆丁的总好评率最高.
故选：D
4、A
【解析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.
【详解】由已知可得，解得.
故选：A.
5、C
【解析】模拟运行程序，直到得出输出的S的值.
【详解】运行程序框图，，，；，，；，，；，输出.
故选：C
6、A
【解析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，
故选：A
7、D
【解析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.
【详解】因为“若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或”，所以p为假命题；
对于等轴双曲线，，所以离心率为，所以q为真命题.
所以假命题，故A错误；
为假命题，故B错误；
为假命题，故C错误；
为真命题，故D正确.
故选：D
8、D
【解析】先由诱导公式及同角函数关系得到，再根据诱导公式化简，最后由二倍角公式化简求值即可.
【详解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，
∴
故选：D
9、D
【解析】利用分步乘法计数原理进行计算.
【详解】每位同学均有四种选择，故不同的报名方法有种.
故选：D
10、D
【解析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此时的的值.
【详解】设为第一象限的交点，、，
则、，解得、，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，
，
即，当且仅当，即，时等号成立，
此时
故选：D
11、A
【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据的周长为得出，最后根据求出的值，即可求出的离心率.
【详解】因为椭圆的面积为
所以长半轴长与短半轴长的乘积，
因为的周长为，
所以根据椭圆的定义易知，，，，
则的离心率，
故选：A.
12、C
【解析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、相交
【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<<5，所以两圆的位置关系为相交
14、
【解析】取中点，利用线面垂直的判定方法可证得平面，由此可确定点轨迹为，再计算即可.
【详解】取中点，连接，

平面，平面，，
又四边形为正方形，，又，平面，
平面，又平面，；
由题意得：，，，
，；
平面，，平面，
，在侧面的边界及其内部运动，点轨迹为线段；

故答案为：.
15、##
【解析】利用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数x的值.
【详解】由题设，，可得.
故答案为：.
16、或
【解析】由题意，设所求直线方程为，根据两平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】解：由题意，设所求直线方程为，
因为直线与直线的距离为，
所以，解得或，
所以所求直线方程为或，
故答案为：或.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）求出以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，将两圆方程相减可求得两圆公共弦所在直线方程；
（2）求出圆上的点M到直线AB的距离的最大值，求出，利用三角形面积公式求得答案.
【小问1详解】
圆的圆心坐标为，半径为1，
则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
由，得①，
由，得②，
①②得：
直线的方程为；
【小问2详解】
圆心到直线的距离为
故圆上的点M到直线的距离的最大值为，
而 ,
故面积的最大值为 .
18、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）先求得，猜想，然后利用数学归纳法进行证明.
（2）利用放缩法证得结论成立.
【小问1详解】
依题意，，
，
，
猜想，下面用数学归纳法进行证明：
当时，结论成立，
假设当时结论成立，即，
由，
，
所以当时，有，结论成立，
所以当时，.
【小问2详解】
由（1）得，且为单调递增数列，
所以
.
所以
.
19、条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】（1）若选择①，先利用正弦定理进行边角互化，再结合正余弦的和差角公式化简可得，得出；若选择②，利用余弦定理及面积公式可得，得；
（2）由（1）可知，由及得，，再根据余弦定理求解的值.
【详解】解析：（1）选择条件①.，

，
得，
选择条件②，由余弦定理及三角形的面积公式可得：，
得.
（2）由得，∵，，
∴，解得.
由余弦定理得：.
【点睛】本题考查解三角形，难度一般.解答的关键在于根据题目中边角关系，运用正弦定理进行边角互化、再根据两角和与差的正弦公式进行化简是关键.一般地，当等式中含有a,b,c的关系式，且全为二次时，可利用余弦定理进行化简；当含有内角的正弦值及边的关系，且为一次式时，可考虑采用正弦定理进行边角互化.
20、（1）
（2）
【解析】（1）方程无根，利用根的判别式小于0求出m的取值范围；（2）和有且只有一个为真命题，分两种情况进行求解，最终求出结果.
【小问1详解】
由方程没有实数根，
得，解得：.
所以m的取值范围为.
【小问2详解】
和有且只有一个为真命题，分为下列两种情况：
①当真且假时，且，得；
②当假且真时，且，得.
所以，的取值范围为.
21、 (1).(2)10.
【解析】（1）借助于将转化为，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列的通项公式，可知数列为等比数列，求得前n项和，代入不等式可求得n的最小值
试题解析：（1）由已知，有，
即
从而
又因为成等差数列，即
所以，解得
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列
故
（2）由（1）得．所以
由，得，即
因为，
所以．于是，使成立的n的最小值为10
考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和
22、（1）
（2）
【解析】（1）由频率之和为1求参数.
（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法写出所有基本事件，根据古典概型的概率计算即可.
小问1详解】
根据频率分布直方图得：，
解得；
【小问2详解】
由于，和的频率之比为：，
故抽取的5人中，，和别为：1人，2人，2人，
记的1人为，的2人为，，的2人为，，
故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，
其中至少有1人每天阅读时间位于的包含，，，，，，共7种，
故概率.