辽宁省沈阳铁路实验中学2025年高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

辽宁省沈阳铁路实验中学2025年高二数学第一学期期末检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（ ）

A. B.
C. D.
2．已知点是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（ ）
A.与双曲线的实轴长相等
B.的面积为
C.双曲线的离心率为
D.直线是双曲线的一条渐近线
3．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4．中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（）
A. B.
C. D.
5． “”是“方程表示椭圆”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．在正方体中，，则（）
A. B.
C. D.
7．已知三个顶点都在抛物线上，且为抛物线的焦点，若，则（）
A.6 B.8
C.10 D.12
8．已知随机变量服从正态分布，，则（）
A. B.
C. D.
9．椭圆的长轴长是（ ）
A.3 B.4
C.6 D.8
10．已知集合，，则
A. B.
C. D.
11．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ）

A. B.
C. D.
12．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）
A.5 B.3
C.9 D.25
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b.则的概率为______.
14．已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____
15．三棱锥中，、、两两垂直，且.给出下列四个命题：

①；
②；
③和的夹角为；
④三棱锥的体积为.
其中所有正确命题的序号为______________.
16．已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，且．数列是等比数列，，
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和
18．（12分）已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间及极值
19．（12分）已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.
20．（12分）已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于
（1）求圆的标准方程；
（2）设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由
21．（12分）双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程
22．（10分）已知等比数列满足，
（1）求数列通项公式；
（2）记，求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】求得外接球的半径，进而计算出外接球体积.
【详解】设，正八面体的棱长为，
根据正八面体的性质可知：，
所以是外接球的球心，且半径，
所以外接球的体积为.
故选：A

2、B
【解析】由题意及双曲线的定义可得，的值，进而可得A不正确，计算可判断B正确，再求出，的关系可得C不正确，求出，的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确
【详解】因为，又由题意及双曲线的定义可得：，
则，，所以A不正确；
因为在以为直径的圆上，所以，
所以，所以B正确；
在△中，由勾股定理可得，
即，所以离心率，
所以C不正确；
由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为，
即，所以D不正确；
故选：B
3、A
【解析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围.
【详解】∵直线的斜率,，
设直线的倾斜角为，则，
解得.
故选：A.
4、D
【解析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可
【详解】解：设双曲线的方程为
由已知得：，，
再由，，
双曲线的方程为：
故选：D
5、B
【解析】方程表示椭圆，可得，解出的范围即可判断出结论.
【详解】∵方程表示椭圆，∴解得或，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
6、A
【解析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】因为，
而，
所以有，
故选：A
7、D
【解析】设，，，由向量关系化为坐标关系，再结合抛物线的焦半径公式即可计算
【详解】由得焦点，准线方程为，设，，
由得

则，化简得
所以
故选：D
8、B
【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果
【详解】根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，
由于，所以，
所以，
则，
所以
故选：B.
【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
9、D
【解析】根据椭圆方程可得到a，从而求得长轴长.
【详解】椭圆方程为，故 ，
所以椭圆长轴长为 ，
故选:D.
10、B
【解析】由交集定义直接求解即可.
【详解】集合，，则.
故选B.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
11、A
【解析】利用空间向量基本定理求解即可
【详解】由于M是的中点，
所以

故选：A
12、A
【解析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.
【详解】∵椭圆的一个焦点是，
∴，
∴，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式以及对数的知识求得正确答案.
【详解】的所有可能取值为，
，共种，
满足的为，，共种，
所以的概率为.
故答案为：
14、
【解析】联立直线得，由无公共点得，进而得，即可求出离心率的取值范围.
【详解】联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，
则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.
故答案为：.
15、①②③
【解析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.
【详解】设，由于、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：

则、、、.
对于①，，所以，，①正确；
对于②，，，则，②正确；
对于③，，，
，
，所以，和的夹角为，③正确；
对于④，，，，则，
所以，，
而三棱锥的体积为，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.
16、##
【解析】先求出顶点和焦点坐标，求出直线直线与的斜率，利用到角公式求出的正切值，进而求出正弦值.
【详解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】（1）利用求出通项公式，根据已知求出公比即可得出的通项公式；
（2）利用错位相减法可求解.
【小问1详解】
因为数列的前项和为，且，
当时，，
当时，，满足，
所以，
设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，
所以；
【小问2详解】
因为，
，
则，
两式相减得

，
所以.
18、（1）+1；（2）单调增区间，单调减区间是和，极大值为，极小值为
【解析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率，求出后利用点斜式即可得解；
（2）求出函数导数后，解一元二次不等式分别求出、时的取值范围即可得解.
【详解】（1）因为，所以，

∴切线方程为，即+1；
（2），所以当或时，，
当时，，所以函数单调增区间是，单调减区间是和，极大值为，极小值为
19、（1）
（2）
【解析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为，从而即可求解；
（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解.
【小问1详解】
解：依题意，，解得，
∴抛物线的方程为；
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，，，
由消去可得，
∵直线交抛物线于不同的两点，
∴，由韦达定理得，
∴.
20、（1）；
（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）设圆心，设圆的半径为，可得出，根据已知条件可得出关于实数的方程，求出的值，可得出的值，进而可得出圆的标准方程；
（2）分析可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，由可求得的取值范围，列出韦达定理，分析可得，可求得点的坐标，由已知可得出，求出的值，检验即可得出结论.
【小问1详解】
解：设圆心，设圆的半径为，则，由题意可得，
由勾股定理可得，则，
由题意可得，解得，则，
因此，圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：若直线的斜率不存在，此时直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
，解得或，
由韦达定理可得，，则，
因为四边形为平行四边形，则，
因为，则，则，解得，
因为或，
因此，不存直线，使得直线与恰好平行.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意求出即可得出；
（2）利用点差法求出直线斜率即可得出方程.
【小问1详解】
∵，，∴，，
∵，∴，∴，
∴双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
设以定点为中点的弦的端点坐标为，
可得，，
由在双曲线上，可得：，
两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：

则以定点为中点的弦所在的直线方程为，即为，
联立方程得：，，符合，
∴直线的方程为：.
22、（1）
（2）
【解析】（1）通过基本量列方程组可得；
（2）由裂项相消法可解
【小问1详解】
由题意得
解得，所以数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）知，则
所以