2025-2026学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二上数学期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（）

A. B.
C. D.
2．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（ ）
A.8 B.10
C.16 D.32
3．已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
4．从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B.
C.2 D.
5．人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）

A. B.
C. D.
6．已知数列中，且满足，则（ ）
A.2 B.﹣1
C. D.
7．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A.3 B.5
C.6 D.10
8．已知a，b为不相等实数，记，则M与N的大小关系为（）
A. B.
C. D.不确定
9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（）
A. B.
C. D.
10．已知直线与圆交于A，B两点，O为原点，且，则实数m等于（ ）
A. B.
C. D.
11．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则（）
A.1 B.
C. D.
12．设函数，则（ ）
A.1 B.5
C. D.0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是
14．方程表示双曲线，则实数k的取值范围是___________.
15．设函数满足，则______.
16．已知抛物线C：，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，和分别是和的中点，点在直线上，且.

（1）证明：无论取何值，总有；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
18．（12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）[79.5，89.5)这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的众数、中位数、平均数是多少？
19．（12分）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：

（1）求该公司员工年龄的极差和第25百分位数；
（2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由；
20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值
21．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D（单位：）与声音能量I（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：

参考数据：其中，，，，，，，，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）求声音强度D关于声音能量I回归方程
（3）假定当声音强度D大于时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源的影响，这两个声通的声音能量分别是和，且．已知点P处的声音能量等于与之和．请根据（2）中的回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由
参考公式：对于一组数据，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
22．（10分）已知两定点，，动点与两定点的斜率之积为
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设（1）中所求曲线为C，若斜率为的直线l过点，且与C交于P，Q两点．问：在x轴上是否存在一点T，使得对任意且，都有（其中，分别表示，的面积）．若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设点关于原点的对称点为点，连接、，分析可知、、三点共线，设点、，设直线的方程为，分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：

因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，
因为，故、、三点共线，设、，
易知点，，，
由题意可知，，可得，
若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；
设直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，得，
，则，可得，故，
因此，.
故选：A.
2、C
【解析】根据和为方程两根，得到，然后再利用等比数列的性质求解.
【详解】因为和为方程的两根，
所以，
又因为数列是等比数列，
所以，
故选：C
3、B
【解析】根据根式、分式的性质求定义域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求.
【详解】∵，，
∴
故选：B
4、B
【解析】设出双曲线方程，把双曲线上的点的坐标表示出来并代入到方程中，找到的关系即可求解.
【详解】以O为原点，AD所在直线为x轴建系，不妨设，
则该双曲线过点且，
将点代入方程，
故离心率为，
故选：B
【点睛】本题考查已知点在双曲线上求双曲线离心率的方法，属于基础题目
5、C
【解析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程
【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，
由题意可知下一段圆弧过点，
因为每一段圆弧的圆心角都为90°，
所以下一段圆弧所在圆的圆心与点的连线平行于轴，
因为下一段圆弧半径为13，
所以所求圆的圆心为，
所以所求圆的方程为，
故选：C
6、C
【解析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；
【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，
故选：C
7、B
【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，由题中条件，即可得出结果.
【详解】因为数列为等差数列，
由，可得，，
则.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前项和的基本量运算，属于基础题型.
8、A
【解析】利用作差法即可比较M与N的大小﹒
【详解】因为，
又，所以，即
故选A
9、D
【解析】由题设条件求出垂直平分线的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.
【详解】由题设，可得，且中点为，
∴垂直平分线的斜率，故垂直平分线方程为，
∵，则△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，
∴△的欧拉线的方程为.
故选：D
10、A
【解析】根据给定条件求出，再求出圆O到直线l的距离即可计算作答.
【详解】圆的圆心O，半径，因，则，
而，则，即是正三角形，点O到直线l的距离，
因此，，解得，
所以实数m等于.
故选：A
11、C
【解析】根据椭圆的对称性和平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】是椭圆上关于原点对称两点，所以不妨设，即，
因为平行四边形也是中心对称图形，
所以也是椭圆上关于原点对称的两点，
所以不妨设，即，
，
得：，
即，
故选：C
12、B
【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以原式等于.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分析可知，由可求得结果.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，.
故答案为：.
14、
【解析】由题可得，即求.
【详解】∵方程表示双曲线，
∴，
∴.
故答案为：.
15、5
【解析

考点：函数导数与求值
16、9
【解析】过A、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.
【详解】由抛物线，可知，则，
所以抛物线的焦点坐标为，
如图，过点A作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，

由抛物线的定义可得，
再根据为线段的中点，而四边形为梯形，
由梯形的中位线可知，
则，所以.
故答案为：9.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）以点为坐标原点所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算得出，即可得出结论；
（2）计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可得出关于的方程，即可得出结论.
【详解】（1）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，，，
所以，，则，
因此，无论取何值，总有；
（2），设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由题意可得，
整理可得，，此方程无解，
因此，不存在点，使得平面与平面所成的角为.
18、（1）0.25，15；（2）众数为74.5，中位数为72.8，平均分为70.5.
【解析】（1）直接利用频率和频数公式求解；
（2）利用频率分布直方图的公式求众数、中位数、平均数.
【详解】（1）频率＝(89.5－79.5)×0.025＝0.25；频数＝60×0.25＝15.
（2）[69.5，79.5)一组的频率最大，人数最多，则众数为74.5，
左边三个矩形的面积和为0.4，左边四个矩形的面积和为0.7，所以中位数在第4个矩形中，设中位数为,所以中位数为72.8.
平均分为44.5×0.1＋54.5×0.15＋64.5×0.15＋74.5×0.3＋84.5×0.25＋94.5×0.05＝70.5
19、（1）极差为；第25百分位数为
（2）事件和相互独立，理由见解析
【解析】（1）根据定义直接计算极差和百分位数得到答案.
（2）计算得到，，，即，得到答案.
【小问1详解】
员工年龄的极差为，，故第25百分位数为.
【小问2详解】
，，，故，
故事件和相互独立.
20、，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元
【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.
再由，得，因此.
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ），令，即.
解得，（舍去）
当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元
21、（1）更适合
（2）
（3）点P处会受到噪声污染，理由见解析
【解析】（1）直接判断即可；
（2）令，先算线性回归方程再算非线性回归方程；
（3）利用基本不等式计算出的最小值，再与60比较即可.
【小问1详解】
更适合
【小问2详解】
令，则
，
，
D关于W的回归方程是，
则D关于I的回归方程是
【小问3详解】
设点P处的声音能量为，则
因为
所以

当且仅当，即时等号成立
所以，
所以点P处会受到噪声污染
22、（1）
（2）存在；
【解析】（1）设出点的坐标，根据，即可直接求出动点M的轨迹方程；
（2）根据题意写出直线的方程，把直线的方程与曲线的方程联立，消元，写韦达；根据条件，同时结合三角形的面积公式可得出；从而结合韦达定理可求出点T的坐标.
【小问1详解】
设，由，得，即，
所以动点M的轨迹方程为.
【小问2详解】
设PT与RT夹角为，QT与RT夹角为，
因为，所以，
即，所以，
设，，，直线l的方程为，
因为，所以，即，
所以，即①，
由，得，
所以，
代入①式，得，解得，
所以存在点，使得对任意且，都有.