内蒙古师范大学锦山实验中学2025-2026学年高二上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

内蒙古师范大学锦山实验中学2025-2026学年高二上数学期末综合测试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知公比不为1的等比数列，其前n项和为，，则（）
A.2 B.4
C.5 D.25
2．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为6π，则椭圆C的标准方程为（）
A. B.
C. D.
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A.192 里 B.96 里
C.48 里 D.24 里
4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第十层球的个数为（）

A.45 B.55
C.90 D.110
5．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为、，左顶点为，左焦点为，若直线与直线互相垂直，则椭圆的离心率为
A. B.
C. D.
6．数列满足，，，则数列的前8项和为（）
A.25 B.26
C.27 D.28
7．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文
C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文
8．已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限的点，若，则直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
9．2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），测得，，则纪念塔的高CD为（）
A.40m B.63m
C.m D.m
10．已知函数是定义在上奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知直线与垂直，则为（ ）
A.2 B.
C.-2 D.
12．过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）
A. B
C.＋1 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.
14．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）
15．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于A，B两点（点B在第一象限），与准线交于点P.若，，则____________.
16．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用（万元）有下表的统计资料：

2
3
4
5
6

22
3.8
5.5
6.5
7.0
根据上表可得回归直线方程，则=_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度

（1）在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？
（2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度
18．（12分）球形物体天然萌，某食品厂沿袭老字号传统，独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤，其中瓶子的制造成本c（分）与瓶子的半径r（cm）的平方成正比，且当cm时，制造成本c为3.2π分，已知每出售1mL的酸梅汤，可获得0.2分，且制作的瓶子的最大半径为6cm
（1）写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式（提示：）；
（2）瓶子半径多大时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大为多少？（结果用含π的式子表示）
19．（12分）一位父亲在孩子出生后，每月给小孩测量一次身高，得到前7个月的数据如下表所示．
月龄
1
2
3
4
5
6
7
身高（单位：厘米）
52
56
60
63
65
68
70
（1）求小孩前7个月的平均身高；
（2）求出身高y关于月龄x的回归直线方程（计算结果精确到整数部分）；
（3）利用（2）的结论预测一下8个月的时候小孩的身高
参考公式：
20．（12分）函数
（1）求在上的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围
21．（12分）四棱锥，底面为矩形，面，且，点在线段上，且面.

（1）求线段的长；
（2）对于（1）中的，求直线与面所成角的正弦值.
22．（10分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0交点且与直线x+y﹣2＝0垂直
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】设等比数列的公比为，根据求得，从而可得出答案.
【详解】解：设等比数列的公比为，
则，所以，
则.
故选：B.
2、D
【解析】设椭圆的方程为，根据题意得到和，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为，
因为椭圆C的离心率为，可得，
又由，即，解得，

又因为椭圆的面积为，可得，即，
联立方程组，解答，所以椭圆方程为.
故选：D.
3、B
【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.
【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
第此人第二天走里.
故选：B
4、B
【解析】根据题意，发现规律并将规律表达出来，第层有个球.
【详解】根据规律，可以得知：第一层有个球；第二层有个球；第三层有个球，则根据规律可知：第层有个球
设第层的小球个数为，则有：
故第十层球的个数为：
故选：
5、C
【解析】依题意，直线与直线互相垂直，

，

故选
6、C
【解析】根据通项公式及求出，从而求出前8项和.
【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则数列的前8项和为.
故选：C
7、C
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果.
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，
则，解得，
所以戊分得（文），己分得（文），
故选：C.
8、C
【解析】设点，其中，，根据抛物线的定义求得点的坐标，即可求得直线的斜率，即可得解.
【详解】设点，其中，，则，可得，则，
所以点，故，因此，直线的倾斜角为.
故选：C.

9、B
【解析】设，先表示出，再利用余弦定理即可求解.
【详解】
如图所示，，设塔高为，因为平面ABC，所以，
所以，又，即，
解得.
故选：B.
10、A
【解析】构造函数，分析该函数的定义域与奇偶性，利用导数分析出函数在上为增函数，从而可知该函数在上为减函数，综合可得出原不等式的解集.
【详解】令，则函数的定义域为，
且，则函数为偶函数，
所以，，
当时，，所以，函数在上为增函数，
故函数在上为减函数，
由等价于或：
当时，由可得；
当时，由可得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：A.
11、A
【解析】利用一般式中直线垂直的系数关系列式求解.

【详解】因为直线与垂直
，

故选：A.
12、A
【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.
【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:

因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，
又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，
又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，
所以|PF|＝4a所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，
即a2＋4a2＝c2，所以e＝，
故选A.
【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据判断出四边形为平行四边形，由此求得圆的方程以及的长，进而判断出点在圆上，根据圆与圆的位置关系，求得的取值范围.
【详解】四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，
所以圆的方程为，
且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，
故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，
故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，
由，解得，
故a的取值范围为(，4).
故答案为：

【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
14、36
【解析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.
【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，
可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，
则共有种分配方案.
故答案为：36
15、
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，然后根据抛物线的定义和三角形相似的关系可求得结果
【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由抛物线的定义可知，，
不妨设，因为，所以，
因为∽，所以，
即，所以，
所以，
因为与反向，所以.
故答案为：

16、08##
【解析】根据表格中的数据求出，将点代入回归直线求出即可.
【详解】由表格可得，
，
由于回归直线过点，
故，解得，
故答案为：0.08.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）不在（2）17.5米
【解析】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线AB方程，判断直线AB与圆O的位置关系即可；
（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A的直线l与圆O相切时的直线方程即可.
【小问1详解】
以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系
则，观景直道所在直线的方程为
依题意得：游客所在点为
则直线AB的方程为，化简得，
所以圆心O到直线AB的距离，
故直线AB与圆O相交，
所以游客不在该摄像头监控范围内.
【小问2详解】
由图易知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，
所以设直线l过A且恰与圆O相切，
①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；
②若直线l不垂直于x轴，设，整理得
所以圆心O到直线l的距离为，解得或，
所以直线l的方程为或，
即或，
设这两条直线与交于D，E
由，解得，由，解得，
所以，
观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.

18、（1），
（2）当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π
【解析】（1）直接由条件写出关系式即可；
（2）直接求导确定单调性后，求出最大值即可.
【小问1详解】
设瓶子的制造成本c与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，则瓶子的制造成本，由题意，当时，
∴，即瓶子的制造成本
∴每瓶酸梅汤的利润是，
∴每瓶酸梅汤的利润关于r的函数关系式为：，
【小问2详解】
由（1）知，则，
令，则，
当时，；当时，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π.
19、（1）62；（2）；
（3）74.
【解析】（1）直接利用平均数的计算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回归方程；（3）把x=8代入回归方程即可求出.
【小问1详解】
小孩前7个月的平均身高为.
【小问2详解】
(2)设回归直线方程是.
由题中的数据可知.，
.

.
计算结果精确到整数部分,所以,于是，
所以身高y关于月龄x的回归直线方程为.
小问3详解】
由(2)知, .
当x=8时,y=3×8+50=74,所以预测8个月的时候小孩的身高为74厘米.
20、（1）单调递增区间为；单调递减区间为和
（2）
【解析】（1）求出，然后可得答案；
（2）由条件可得，设，则，然后利用导数可得在上单调递增，，然后分、两种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
由题可得
令，得；
令，得，
所以f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为和
【小问2详解】
由，得，
即
设，则
设，则
当时，，，所以
所以即在上单调递增，
则
若，则，
所以h(x)在上单调递增
所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合题意

若a＞2，则，必存在正实数，
满足：当时，，h(x)单调递减，
此时h(x)＜h(0)＝0，不符合题意
综上所述，a的取值范围是

21、（1）1（2）
【解析】（1）根据线面垂直得到，再由相似比得方程可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，运用夹角公式先求线面角的余弦值，再转化为正弦值即可.
小问1详解】
面，
在矩形中，易得：
；
【小问2详解】
如四建立空间直角坐标系：
则，
，

由题意可知：为平面的一个法向量，
，
，
直线与面所成角的正弦值为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.
（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.
【小问1详解】
.
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
设圆的标准方程为，
则，
所以圆的标准方程为.