2026届安徽省六安一中、舒城中学、霍邱一中高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2026届安徽省六安一中、舒城中学、霍邱一中高二数学第一学期期末教学质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，，，则（）
A. B.
C. D.
2．在直角坐标系中，直线的倾斜角是
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3．设命题，，则为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4．椭圆的左右焦点分别为，是上一点， 轴，，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B.
C. D.
5．若函数的导函数在区间上是减函数，则函数在区间上的图象可能是（）
A. B.
C. D.
6．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（）
A. B.0
C. D.1
7．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值
A.至多等于3 B.至多等于4
C.等于5 D.大于5
8．集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
9．若圆与圆相切，则实数a的值为（）
A.或0 B.0
C. D.或
10．设，直线，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
12．等差数列中，,，则当取最大值时，的值为
A.6 B.7
C.6或7 D.不存在
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，且，则______，数列的通项_____
14．某班有位同学，将他们从至编号，现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是，那么第四位的编号是______
15．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.

16．过点且与直线平行的直线的方程是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点，线段交于点，证明：是的中点
18．（12分）我国是世界最大的棉花消费国、第二大棉花生产国，其中，新疆棉产量约占国内产量的87%，消费量约占国内消费量的67%．新疆棉的品质高：纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．尤其是被授予“中国彩棉之乡”称号的新疆建设兵团一四八团生产的天然彩棉，株型紧凑，吐絮集中，品质优良，色泽纯正、艳丽，手感柔软，适合中高档纺织．新疆彩棉根据色泽、手感、纤维长度等评分指标打分，得分在区间内分别对应四级、三级、二级、一级．某经销商从采购的新蚯彩棉中随机抽取20包（每包1kg），得分数据如图

（1）试统计各等级数量，并估计各等级在该批彩棉中所占比例；
（2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；
方案2：分等级卖出，不同等级的新疆彩棉售价如下表所示：
等级
一级
二级
三级
四级
售价（万元/吨）

若从经销商老板的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由
19．（12分）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线上的点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，且.求△OPQ面积的最小值.
20．（12分）已知双曲线C的方程为（），离心率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过的直线交曲线于两点，求的取值范围.
21．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程
22．（10分）已知数列是公比为2的等比数列，是与的等差中项
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用等差中项的性质可求得的值，进而可求得的值.
【详解】由等差中项的性质可得，则.
故选：B.
2、D
【解析】根据直线方程得到直线的斜率后可得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，因，故，故选D.
【点睛】直线的斜率与倾斜角的关系是：，当时，直线的斜率不存在，注意倾斜角的范围.
3、B
【解析】全称命题的否定时特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】命题，，则为“，”.
故选：B
4、A
【解析】在中结合已知条件，用焦距2c表示、，再利用椭圆定义计算作答.
【详解】令椭圆的半焦距为c，因是上一点， 轴，，
在中，，，
由椭圆定义知，则，
所以椭圆的离心率等于.
故选：A
5、A
【解析】根据导数概念和几何意义判断
【详解】由题意得，图象上某点处的切线斜率随增大而减小，满足要求的只有A
故选：A
6、A
【解析】求出导函数，计算得切线斜率，由斜率求得倾斜角
【详解】，
设倾斜角为，则，，
故选：A
7、B
【解析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断
解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；
n大于4，也不成立；
空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心
由三角形的两边之和大于三边，故不成立；
同理n＞5，不成立
故选B
点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题
8、A
【解析】先解不等式求得集合再求交集.
【详解】解不等式得：，则有，
解不等式，解得或，则有或，
所以为.
故选：A.
9、D
【解析】根据给定条件求出两圆圆心距，再借助两圆相切的充要条件列式计算作答.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
而，即点不可能在圆内，则两圆必外切，
于是得，即，解得，
所以实数a的值为或.
故选：D
10、A
【解析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，则，解得或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
11、A
【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12、C
【解析】设等差数列的公差为
∵
∴
∴
∴
∵
∴当取最大值时，的值为或
故选C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.
【解析】判断出是等差数列，由此求得，利用累加法求得.
【详解】依题意，
则，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，，
当时，，

，
也符合上式，
所以.
故答案为：；
14、29
【解析】根据给定信息利用系统抽样的特征直接计算作答.
【详解】因系统抽样是等距离抽样，依题意，相邻两个编号相距，
所以第四位的编号是.
故答案为：29
15、
【解析】设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.
【详解】设，因为，，，
所以，，，.
在中，，
即①.，
在中，，
即②，
因为，
所以①②两式相加可得：，解得：，
则，
故答案为：.
16、
【解析】设出直线的方程，代入点的坐标，求出直线的方程.
【详解】设过点且与直线平行的直线的方程为，将代入，则，解得：，所以直线的方程为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）设点，求得到圆上的最小距离为，根据题意得到，整理即可求得曲线的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程组求得和，得到，结合抛物线的定义和方程求得，，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：设点，（其中），
由圆，可得圆心坐标为，
因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为，
又由到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，
可得，即，
整理得，即曲线的方程为
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，可得点为抛物线的交点，点为坐标原点，
点为抛物线的准线与轴的交点，显然满足是的中点；
当直线的斜率存在时，设直线的方程，
设，，，则，
联立方程组，整理得，
因为，且，
则，故，
由抛物线的定义知，
设，可得，所以，
又因为，所以，解得，所以，

因为在地物线上，所以，即，
所以，即是的中点

18、（1）答案见解析；（2）答案、理由见解析
【解析】（1）根据茎叶图计算出数量以及比例.
（2）计算出方案的彩棉售价平均值，由此作出决策.
【详解】（1）得分在（0，25]内的有19，21，共2个，所以四缓彩棉在该批彩棉中所占比例为；
得分在（25，50]内的有27，31，36，42，45，48，共6个，所以三级彩棉在该批彩棉中所占比例为；
得分在（50，75]内的有51，51，58，63，65，68，73，共7个，所以二级彩棉在该批彩棉中所占比例为；
得分在（75，100]内的有76，79，83，85，92，共5个，所以一级彩棉在该批彩棉中所占比例
（2）解答一：选用方案2，理由如下：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；
设方案2的彩棉售价平均值为万元/吨，
则
因为，
所以从经销商老板角度考虑，采用方案2时销售利润比较大，应选方案2
解答二：选用方案1，理由如下：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；
设方案2的彩棉售价平均值为
则，
因为，但（万元）差别较小
所以从经销商老板后期对彩棉分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据抛物线的定义列方程，由此求得，进而求得抛物线方程.
（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.
【详解】（1）依题意.
（2）与联立得，，得
，
又，又m>0，m=4.
且，
，当k=0时，S最小，最小值为.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解；
（2）根据题意，分直线斜率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式，即可求解.
【小问1详解】
根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以
，故双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
则由消去，得到，
∵直线与双曲线交于M、N两点，，解得.
设，则有，，
因此，
∵，∴且，故或，
故；
②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.
综上所述，所求的取值范围是.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.
（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.
【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，
∴C的方程为.
（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，
∴联立抛物线方程，得：，，
若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，
∴，即，得，
∴直线l的方程为.
【点睛】关键点点睛：
（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；
（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.
22、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件列式求出数列的首项即可作答.
(2)由(1)的结论求出，再借助裂项相消法计算作答.
【小问1详解】
因为数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，
则有，即，解得，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，，则，
即有，
所以.