2025年广西南宁市第三中学、柳州铁一中学高二数学第一学期期末复习检测试题含解析.doc

2025年广西南宁市第三中学、柳州铁一中学高二数学第一学期期末复习检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列，则是这个数列的第（ ）
A.项 B.项
C.项 D.项
2．已知F是双曲线的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（ ）
A. B.
C. D.
4．若数列{an}满足……，则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}的前n项和Sn满足，则实数t的取值范围是（　　）
A. B.（-∞，1）
C. D.（1， +∞）
5．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则的周长为（）
A.3 B.4
C.6 D.8
6．为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来入市人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测.设命题为“甲核酸检测结果为阴性”，命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（ ）
A. B.
C. D.
7．直线与圆的位置关系是（）
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
8．（一）单项选择函数在处的导数等于（）
A.0 B.
C.1 D.e
9．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．在等差数列中，为数列的前项和，，，则数列的公差为（）
A. B.
C.4 D.
11．已知数列中，，则（ ）
A. B.
C. D.
12．已知函数在处取得极小值，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是______
14．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________
15．已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______
16．命题“，”是真命题，则的取值范围是________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式：.
18．（12分）已知直线.
（1）若，求直线与直线的交点坐标；
（2）若直线与直线垂直，求a的值.
19．（12分）已知，对于有限集，令表示集合中元素的个数．例如：当时，，
（1）当时，请直接写出集合的子集的个数；
（2）当时，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求满足条件的有序集合对的个数；
（3）假设存在集合、具有以下性质：将1，1，2，2，··，，．这个整数按某种次序排成一列，使得在这个序列中，对于任意，与之间恰好排列个整数．证明：是4的倍数
20．（12分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）讨论的零点个数.
21．（12分）已知函数（…是自然对数的底数） .
（1）求的单调区间；
（2）求函数的零点的个数.
22．（10分）如图,是平行四边形，已知，,平面平面.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项
【详解】数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.
故选：A.
2、D
【解析】由题意以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点，则必有，又当圆M经过原点时此时以AB为直径的圆M上与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足，从而得出答案.
【详解】由题意，由得，双曲线的渐近线方程为
所以，由，
可知，，，在以AB为直径的圆M上，圆的半径为
即以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点
当圆M与渐近线相切时，圆心到渐近线的距离，
则必有，即，则双曲线E的离心率，所以
又当圆M经过原点时，，解得E的离心率为，
此时以AB为直径圆M与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足条件.
所以E的离心率的取值范围是.
故选：D

3、A
【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.
【详解】设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，
则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，
故 ，
所以直线l为：，当时，，
即直线l恒过定点，
故选：A.
4、A
【解析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】因为
所以当时,
两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列
当时,
所以，
则

由“差半递增”数列的定义可知

化简可得
解不等式可得
即实数的取值范围为
故选：A.
5、D
【解析】由的周长为，结合椭圆的定义，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，即，
如图所示，根据椭圆的定义，可得的周长为

故选：D.

6、D
【解析】表示出和，直接判断即可.
【详解】命题为“甲核酸检测结果为阴性”，则命题为“甲核酸检测结果不是阴性”；
命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题为“乙核酸检测结果不是阴性”.
故命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为.
故选D.
7、B
【解析】直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系.
【详解】直线恒过定点，
而，故点在圆的内部，
故直线与圆的位置关系为相交，
故选：B.
8、B
【解析】利用导数公式求解.
【详解】因为函数，
所以，
所以，
故选；B
9、B
【解析】当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，进而求得取值范围，当斜率不存在是，可得，两点坐标，进而可得的值.
【详解】当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
联立方程，得，恒成立，
则，，
，，
，
所以，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
所以，，
，
综上所述：，
故选：B.
10、A
【解析】由已知条件列方程组求解即可
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
故选：A
11、D
【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.
【详解】由，
可得，，
，
故选： D.
12、A
【解析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数的值.
【详解】
由条件可知，，，
解得：，，
检验，时，
当，得或，函数的单调递增区间是和，
当，得，所以函数的单调递减区间是，
所以当时，函数取得极小值，满足条件.
所以.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求导得，进而根据题意在上有且只有一个变号零点，再根据零点的存在性定理求解.
【详解】解：，
∵在区间上有且只有一个极值点，
∴在上有且只有一个变号零点，
∴，解得
∴a的取值范围是.
故答案为：
14、200
【解析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.
【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.
故答案：200.
15、
【解析】根据已知可设，，，根据已知条件求出、、的值，将向量用坐标加以表示，利用空间向量的模长公式可求得的最小值.
【详解】因为、是空间内两个单位向量，且，
所以，，因为，则，
不妨设，，
设，则，，解得，则，
因为，可得，
则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，对于任意的实数、，的最小值为.
故答案为：.
16、
【解析】依题意可得，是真命题，参变分离得到在上有解，再利用构造函数利用函数的单调性计算可得.
【详解】，等价于在上有解
设，，则在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，即
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）答案见解析.
【解析】（1）由题设可得，进而可知在恒成立，即可求参数范围.
（2）题设不等式等价于，讨论的大小并根据一元二次不等式的解法求解集即可.
【小问1详解】
当时，得即.
由，则，
∴，即，
∴，即，
∴实数的取值范围是.
【小问2详解】
由，即，即.
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
综上，当时﹐不等式的解集为；当时，不等式的解集为﹔当时，不等式的解集为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）联立两直线方程，解方程组即可得解；
（2）根据两直线垂直列出方程，解之即可得出答案.
【小问1详解】
解：当时，直线，
联立，解得，
即交点坐标为；
【小问2详解】
解：直线与直线垂直，
则，解得.
19、（1）8（2）454
（3）证明见详解
【解析】（1）n元集合的直接个数为可得；
（2）由已知结合可得，或，然后可得集合的包含关系可解；
（3）根据每两个相同整数之间的整数个数之和与总的数字个数之间的关系可证.
【小问1详解】
当时，集合的子集个数为
【小问2详解】
易知，又，
所以，即，
得，或，所以或
1）若，则满足条件的集合对共有
，
2）若，同理，满足条件集合对共有243
3）当A=B时，满足条件的集合对共有
所以，满足条件集合对共243+243-32=454个.
【小问3详解】
记，则1，1，2，2，··，，共2n个正整数，
将这2n个正整数按照要求排列时，需在1和1中间放入1个数，在2和2中间放入2个数，…，在n和n中间放入n个数，共放入了个数，由于排列完成后共有2n个数，且1，1，2，2，··，，刚好放完，所以放入数字个数必为偶数，即Z，所以，Z，所以是4的倍数
20、（1）单调递增区间是和，单调递减区间是
（2）时， 有1个零点；
或时， 有2个零点；
时，有3个零点.
【解析】（1）求解函数的导数，再运用导数求解函数的单调区间即可；
（2）根据导数分析原函数的极值，进而讨论其零点个数.
【详解】（1）因为，所以
由，得或；由，得.
故单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）由（1）可知的极小值是，极大值是.
①当时，方程有且仅有1个实根，即有1个零点；
②当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
③当时，方程有3个不同实根，即有3个零点；
④当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
⑤当时，方程有1个实根，即有1个零点.
综上，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.
21、（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）时函数没有零点；或时函数有且只有一个零点；时，函数有两个零点.
【解析】（1）先对函数求导，然后分和两种情况判断导函数正负，求其单调区间；
（2）由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，从而可得答案
【详解】（1因为，所以，
当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，得；令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）显然0不是函数的零点，由，得.
令，则.
或时，，时，，
所以在和上都是减函数，在上是增函数，
时取极小值，
又当时，.
所以时，关于的方程无解，
或时关于的方程只有一个解，
时，关于的方程有两个不同解.
因此，时函数没有零点，
或时函数有且只有一个零点，
时，函数有两个零点.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数判断函数的零点，解题的关键是由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，考查数形结合的思想，属于中档题
22、 (1)见解析;(2).
【解析】（1）推导出，取BC的中点F，连结EF ，可推出，从而平面，进而，由此得到平面，从而；（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值
【详解】（1）∵是平行四边形，且
∴，故，即
取BC的中点F，连结EF.
∵
∴
又∵平面平面
∴平面
∵平面
∴
∵平面
∴平面，
∵平面
∴
（2）∵,由（Ⅰ）得
以为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则
∴
设平面的法向量为，则，即
得平面一个法向量为
由（1）知平面，所以可设平面的法向量为
设平面与平面所成二面角的平面角为，则
即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.

【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点
（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标
（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论