2025-2026学年福建厦门大同中学高二上数学期末调研模拟试题含解析.doc

2025-2026学年福建厦门大同中学高二上数学期末调研模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（）
A. B.
C. D.
2．函数的导函数的图像如图所示，则（）

A.为的极大值点
B.为的极大值点
C.为的极大值点
D.为的极小值点
3．在三棱柱中，，，，则这个三棱柱的高（）
A1 B.
C. D.
4．在下列命题中正确的是（ ）
A.已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
B.若所在的直线是异面直线，则不共面
C.若三个向量两两共面，则共面
D.已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面
5．已知直线交圆于A，B两点，若点满足，则直线l被圆C截得线段的长是（）
A.3 B.2
C. D.4
6．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知双曲线，其渐近线方程为，则a的值为（）
A. B.
C. D.2
8．在平面上有一系列点，对每个正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切．若，且,,的前项之和为，则（ ）

A. B.
C. D.
9．已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（）
A椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
10．已知是椭圆右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B.
C. D.
11．已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若的面积为36，则等于（ ）
A.36 B.24

C.12 D.6
12．已知双曲线的左焦点为，，为双曲线的左、右顶点，渐近线上的一点满足，且，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则__________；记表示不超过的最大整数，例如，若，设的前项和为，则__________
14．下图是4个几何体的展开图，图①是由4个边长为3的正三角形组成；图②是由四个边长为3的正三角形和一个边长为3的正方形组成；图③是由8个边长为3的正三角形组成；图④是由6个边长为3的正方形组成

若直径为4的球形容器（不计容器厚度）内有一几何体，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的番号）
15．用1，2，3，4排成的无重复数字的四位数中，其中1和2不能相邻的四位数的个数为___________（用数字作答）.
16．空间直角坐标系中，点，的坐标分别为，，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，离心率为.过的直线与椭圆的一个交点为，过垂直于的直线与椭圆的一个交点为，.

（1）求椭圆的方程和点的轨迹的方程；
（2）若曲线上的动点到直线：的最大距离为，求的值.
18．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.若这n辆小汽车中，速度在50~60公里小时之间的车辆有200辆.

（1）求n的值；
（2）估计这n辆小汽车车速的中位数；
（3）根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款.试根据频率分布直方图，以频率作为概率的估计值，估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚款的概率.
19．（12分）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上.

（1）求证：；
（2）若点在上，满足，点满足，求实数使得二面角的余弦值为.
20．（12分）为了了解高二段1000名学生一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8

（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；
（2）求这组数据的平均数
21．（12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
22．（10分）森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年12月12日，主席在全球气候峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新征程》的重要讲话，宣布“到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米”.为了实现这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉万立方米的森林.设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量.
（1）请写出一个递推公式，表示二间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数；
（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）（可能用到的数据：，，）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用空间向量的加、减运算即可求解.
【详解】
由题意可得

故选：B.
2、A
【解析】由导函数的图像可得函数的单调区间，从而可求得函数的极值
【详解】由的图像可知，在和上单调递减，在和上单调递增，
所以为的极大值点，和为的极小值点，不是函数的极值点，
故选：A
3、D
【解析】先求出平面ABC的法向量，然后将高看作为向量在平面ABC的法向量上的投影的绝对值，则答案可求.
【详解】设平面ABC的法向量为，而，，
则 ,即有 ,
不妨令,则,故 ,
设三棱柱的高为h，
则 ,
故选：D.
4、D
【解析】对于A，利用空间向量基本定理判断，对于B，利用向量的定义判断，对于C，举例判断，对于D，共面向量定理判断

【详解】对于A，若三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用表示，所以A错误，
对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，
对于C，当三个向量两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，
对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D 正确，
故选：D
5、B
【解析】由题设知为圆的圆心且A、B在圆上，根据已知及向量数量积的定义求的大小，进而判断△的形状，即可得直线l被圆C截得线段的长.
【详解】∵点为圆的圆心且A、B在圆上，又，
∴，
∴，又，
∴，故△为等边三角形，
∴直线l被圆C截得线段的长是2
故选：B
6、A
【解析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】因，则，即，
而，则共面，点M在平面内，
又，即，于是得点N在直线上，
棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，
因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，
，而，，
所以.
故选：A
7、A
【解析】由双曲线方程，根据其渐近线方程有，求参数值即可.
【详解】由渐近线，结合双曲线方程，
∴，可得.
故选：A.
8、C
【解析】根据两圆的几何关系及其圆心在函数的图象上，即可得到递推关系式，通过构造等差数列求得的通项公式，得出，最后利用裂项相消，求出数列前项和，即可求出.
详解】由与彼此外切，
则，
，
，
又∵，
∴，故为等差数列且，，
则，
，
则，
即，
故答案选：.
9、A
【解析】根据椭圆的定义即可求解.
【详解】解：，
故，
又，
根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故选：A.
10、A
【解析】结合椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得，由此求得离心率.
【详解】圆的圆心为，半径为.
设左焦点为，连接，
由于，
所以，所以，所以，
由于，所以，
所以，
，.
故选：A

11、C
【解析】设抛物线方程为，根据题意由求解.
【详解】设抛物线方程为：，
因为直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，
所以，
又 P为C的准线上一点，
所以点P到直线AB的距离为p，
所以，解得，
所以，
故选：C
12、C
【解析】由双曲线的渐近线方程和两点的距离公式，求得点的坐标和，在中，利用余弦定理，求得的关系式，再由离心率公式，计算即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得，
设在渐近线上，且点在第一象限内，
由，解得，即点，
所以，
在中，由余弦定理可得
，可得，即，
所以双曲线离心率为.
故选：C.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.； ②.60.
【解析】先根据并结合等差数列的定义求出；然后讨论n的取值范围，讨论出分别取1,2,3,4,5的情况，进而求出.
【详解】由题意，，n=1时，，满足，
时，，于是，，因为，所以.所以，是1为首项，2为公差的等差数列，所以.
若，即时，，
若，则时，
若，则时，，
若，则时，，
若，则或22时，，
于是，.
故答案为：2n-1；60.
14、①
【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与4比较大小，即可确定答案.
【详解】若几何体外接球球心为，半径为，
①由题设，几何体为棱长为3的正四面体，为底面中心，则，，

所以，可得，即，满足要求；
②由题设，几何体为棱长为3的正四棱锥，为底面中心，则，

所以，可得，即，不满足要求；
③由题设，几何体为棱长为3的正八面体，其外接球直径同棱长为3的正四棱锥，故不满足要求；
④由题设，几何体为棱长为3的正方体，体对角线的长度即为外接球直径，
所以，不满足要求；

故答案为：①
15、
【解析】利用插空法计算出正确答案.
【详解】先排，形成个空位，然后将排入，
所以符合题意的四位数的个数为.
故答案为：
16、
【解析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式计算即得.
【详解】在空间直角坐标系中，因点，的坐标分别为，，
所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）椭圆的方程为，点的轨迹的方程为
（2）
【解析】（1）由题意可得，求出，再结合，求出，从而可得椭圆的方程，设，则由题意可得，坐标代入化简可得点的轨迹的方程，
（2）由题意结合点到直线的距离公式可得，设，将直线方程代入椭圆方程中消去，整理利用根与系数的关系，由，可得，因为，代入化简计算可求得答案
【小问1详解】
由题意得，解得，则
，
所以椭圆的方程，
设，则由题意可得，
所以，
所以，
所以点轨迹的方程为
【小问2详解】
由（1）知曲线是以原点为圆心，1为半径的圆，
因为曲线上的动点到直线：的最大距离为，
所以，得，
设，由，得，
所以，

，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
，
所以，
得，得（舍去），或
18、（1）
（2）

（3）
【解析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解
（2）根据已知条件，结合中位数公式，即可求解
（3）在这500辆小车中，有40辆超速，再结合古典概型的概率公式，即可求解
【小问1详解】
解：由直方图可知，速度在公里小时之间的频率为，
所以，解得
【小问2详解】
解：设这辆小汽车车速的中位数为，
则，解得
小问3详解】
解：由交通法则可知，小车速度在66公里小时以上需要罚款，
由直方图可知，小车速度在之间有辆，
由统计的有关知识，可以认为车速在公里小时之间的小车有辆，
小车速度在之间有辆，
故估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚放的概率为
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）证明平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【小问1详解】
证明：因为，，则且，
，平面，
所以为直线与平面所成的线面角，即，
，故，，
，平面，
平面，因此，.
【小问2详解】
解：设，由（1）可知且，，
因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由取，则，
由已知可得，解得.
当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意.
综上所述，.
20、（1）0.06，50名
（2）64（分钟）
【解析】（1）利用频率和为1可求解频率，再利用频率，频数，总数之间的关系可求解学生人数；
（2）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的中点乘以对应的长方形面积之和；
【小问1详解】
设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x
依题意，得
所以．所以第一组数据的频率为，
设调查中随机抽取了n名学生的课外活动时间，则，得，
所以调查中随机抽取了50名学生的课外活动时间
小问2详解】
由题意，这组数据的平均数(分钟)
21、
【解析】甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付费用相同的概率；
【详解】两人所付费用相同，相同费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为，
两人都付40元的概率为，
两人都付80元的概率为，
故两人所付费用相同的概率为.
22、（1）；（2）.；（3）19万立方米.
【解析】（1）由题意得到；
（2）若递推公式写成，则，再与递推公式比较系数；
（3）若实现翻两番的目标，则，根据递推公式，计算的最大值.
【详解】解：（1）由题意，得，
并且.①
（2）将化成，②
比较①②的系数，得解得
所以（1）中的递推公式可以化为.
（3）因为，且，所以，由（2）可知，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式：，
所以.
到2030年底的森林蓄积量为该数列的第10项，
即.
由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，
所以，即.
即.
解得.
所以每年的砍伐量最大为19万立方米.
【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：
型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；
形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
形如：的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列，
形如：的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式；
形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.