2026届四川省广元市万达中学、八二一中学高二上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

2026届四川省广元市万达中学、八二一中学高二上数学期末综合测试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“存在，使得”的否定为（
A.存在， B.对任意，
C.对任意， D.对任意，
2．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（）

A.圆上 B.双曲线上
C.抛物线上 D.椭圆上
4．定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（）
A. B.
C. D.
6．某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（）

A.3，5 B.3，3
C.3.5，5 D.3.5，4
7．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A. B.
C. D.
9．已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
10．已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为，上的点，，设，则向量用为基底表示为（ ）

A. B.
C. D.
12．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（）
A.20 B.14
C.12 D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________
14．如图，在四棱锥中，O是AD边中点，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.

（1）求证：平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值
15．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则______.
16．椭圆x2 + = 1上的点到直线x + y - 4 = 0的距离的最小值为 _________ .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在等差数列中，已知公差，前项和 (其中)
（1）求；
（2）求和：
18．（12分）已知圆心C的坐标为，且是圆C上一点
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程
19．（12分）已知数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求的值
20．（12分）如图在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的菱形，且，侧棱，，M是PC的中点，设，，

（1）试用，，表示向量；
（2）求BM的长
21．（12分）已知数列的前项和
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.

（1）证明平面；
（2）求平面与平面的夹角.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.
【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.
故选：D
2、A
【解析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角
【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为
故选：A
3、A
【解析】根据题意，得到两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意，得到，，再由得到，求出点的轨迹，即可得出结果.
【详解】由题意，两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是边长为的正方形，
则，，因为为底面内的一动点，所以可设，
因此，，
因为平面，所以，因此，
所以由得，
即，整理得：，表示圆，
因此，动点的轨迹在圆上.
故选：A.

【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.
4、B
【解析】判定函数单调性，再利用导数结合函数在的单调性列式计算作答.
【详解】由函数得：，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减，
于是得函数在上单调递减，即，，即，
而在上单调递减，当时，，则，
所以k的取值范围是.
故选：B
5、A
【解析】先化简函数表达式，然后再平移即可.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象.
故选：A
6、C
【解析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.
【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第56门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.
故选：C.
7、C
【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.
【详解】函数有两个零点，
方程有两个根，
，分离参数得，
与图象有两个交点，
令，
，令，解得
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，且
在处取得极大值及最大值，
可以画出函数的大致图象如下：

观察图象可以得出.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.
8、D
【解析】分析先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
详解：因为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，故选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
9、C
【解析】建立空间直角坐标系，设直线与所成角为，由求解.
【详解】∵长方体中，，，
∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
则，，，，
所以，，
设直线与所成角为，
则，
∴直线和夹角余弦值是.
故选：C.
10、B
【解析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
11、D
【解析】通过寻找封闭的三角形，将相关向量一步步用基底表示即可.
【详解】

.
故选：D
12、B
【解析】分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；
【详解】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；
（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据给定条件求出，构造新数列并借助单调性求解作答.
【详解】在数列中，，当，时，，
则有，而满足上式，因此，，
，显然数列是递增数列，且，，
又对任意恒成立，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：给定数列的前项和或者前项积，求通项时，先要按和分段求，
然后看时是否满足时的表达式，若不满足，就必须分段表达.
14、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意，证明BCOA是平行四边形，从而可得，然后根据线面平行的判断定理即可证明；
（2）证明BCDO是平行四边形，从而可得，由题意，可建立以为轴建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
【小问1详解】
证明：由题意，又，所以BCOA是平行四边形，所以，
又平面POC，平面POC，所以平面POC；
【小问2详解】
解：，，所以BCDO是平行四边形，所以，，而，
所以，以为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
设平面ABP的一个法向量为，
则，取x=1，则，，所以，
设直线PC与平面PAB所成角为，则，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
15、2或10
【解析】求出在处的导数，得出切线方程，与联立，利用可求.
【详解】令，，
则，，
可得曲线在点处的切线方程为.
联立，得，
，解得或.
故答案为：2或10.
16、
【解析】设与直线x + y - 4 = 0平行的直线方程为,求出即得解.
【详解】解：设与直线x + y - 4 = 0平行的直线方程为,
所以，代入椭圆方程得，
令或.
当时，平行线间的距离为；
当时，平行线间的距离为.
所以最小距离为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）12（2）18
【解析】（1）根据已知的,利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解；
（2）由第（1）问中求解出的的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该数列前6项为正项，后6项为负项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的相反数即可计算，即为，然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的和.
【小问1详解】
由题意可得，在等差数列中，已知公差，前项和
所以，
解之得，所以n=12
【小问2详解】
由（1）可知数列{an}的通项公式为，
所以
即
18、（1）
（2）或
【解析】（1）计算圆的半径，写出圆的标准方程即可；
（2）先验证斜率不存在时，是否满足题意，再分析斜率存在时，利用点到直线距离求出斜率即可得解.
【小问1详解】
由题意得：
所以，圆C的标准方程为
【小问2详解】
当直线l斜率不存在时直线l的方程为，
此时所截得的线段的长为，符合题意
当直线l的斜率存在时，设l的方程为，
即，圆心到直线l的距离，
由题意，得，解得，
∴直线l的方程为，即
综上，直线l的方程为或
19、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求相邻两项的关系计算作答.
(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法求出，即可作答.
【小问1详解】
依题意，，，则当时，，
于是得：，即，
而当时，，即有，因此，，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，，
从而有，
所以.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）将，代入中化简即可得到答案；
（2）利用，结合向量数量积运算律计算即可.
【小问1详解】
是PC的中点，
，
，，
，
结合，，，
得.
【小问2详解】
∵底面ABCD是边长为1的菱形，且，侧棱，，
，，
，.
，.
由（1）知，
，
，即BM的长等于.
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用与的关系求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
因为，故当时，，
两式相减得，
又由题设可得，
从而的通项公式为：；
【小问2详解】
因为，
，
两式相减得：
所以.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由已知结合线面平行判定定理可得；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法可解.
【小问1详解】
∵，，∴，
又平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
∵平面且、平面 ，∴，，又∵，
故分别以所在直线为轴，轴、轴，建立如图空间直角坐标系，
如图所示：
由，，
可得：，，，，，
由已知平面，平面，，，
，，平面，
所以平面，
为平面的一个法向量，且；
设为平面的一个法向量，
则，，
，，
，，
，
令，则，，
，
设平面与平面的夹角大小为，
，
由得：平面与平面的夹角大小为