2025-2026学年江西省抚州七校联考数学高二第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年江西省抚州七校联考数学高二第一学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（）

A. B.
C. D.
2．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．设命题，则为（ ）
A. B.

C. D.
4．已知函数在处取得极值，则的极大值为（）
A. B.
C. D.
5．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是
A.1 B.
C. D.
6．已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则（）
A.5 B.25
C. D.
7．已知双曲线E的渐近线为，则其离心率为（）
A. B.
C. D.或
8．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）
A2022年1月8日 B.2022年1月9日
C.2022年1月10日 D.2022年1月11日
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点（1，2），为锐角，且，则（）
A.-18 B.-6
C. D.
10．中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度V与的大小关系是（）
A B.
C. D.
11．若某群体中成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）
A. B.
C. D.
12．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，按照以下规律排列的数阵中，第i行从左向右第j个数记为，如，，则______；令则______

14．等比数列的前n项和，则的通项公式为___________.
15．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
16．在中，，，，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数在处取得极值
确定a的值；
若，讨论的单调性
18．（12分）已知正项数列的首项为，且满足，
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前n项和
19．（12分）已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程
20．（12分）如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，

（1）求证：；
（2）当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围.
22．（10分）记是等差数列的前项和，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，

由对称性可知，点线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为
故选：B
2、B
【解析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得以为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以，再根据直线倾斜角不小于得，由椭圆的定义得，由此可求得椭圆离心率的范围.
【详解】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，，N，四点共圆得，四边形必为一个矩形，
即以为直径的圆与椭圆C有公共点，所以，所以，所以，
因为直线倾斜角不小于，所以直线倾斜角不小于，
所以，化简得，，
因为，所以，
所以，，又，
因为，所以，
所以，所以，
所以.
故选：B.
3、D
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】因为命题是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即，
故选：D
4、B
【解析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而得到函数解析式，再根据导函数得到函数单调性，即可求出函数的极值点，从而求出函数的极大值；
【详解】解：因为，所以，依题意可得，即，解得，所以定义域为，且，令，解得或，令解得，即在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以；
故选：B
5、D
【解析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可
【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b，
故选D
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题
6、B
【解析】由渐近线方程得到，焦点坐标为，渐近线方程为：，利用点到直线距离公式即得解
【详解】由题意，双曲线
故
焦点坐标为，渐近线方程为：
焦点到它的一条渐近线的距离为：
解得：
故选：B
7、D
【解析】根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可求解.
【详解】当双曲线焦点在x轴上时，渐近线为，故离心率为；
当双曲线焦点在y轴上时，渐近线为，故离心率为；
故选：D.
8、B
【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.
【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.
则
40小时=2400分钟，令，得或（舍去），
故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.
故选：B
9、A
【解析】由终边上的点可得，由同角三角函数的平方、商数关系有，再应用差角、倍角正切公式即可求.
【详解】由题设，，，则，
又，，
所以.
故选：A
10、A
【解析】求出平均速度V，进而结合基本不等式求得答案.
【详解】易知，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为，逆流而上的时间为，则平均速度，由基本不等式可得，而，当且仅当时，两个不等式都取得“=”，而根据题意，于是.
故选：A.
11、A
【解析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由对立事件概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.
故选：A.
12、C
【解析】根据点关于原点对称的性质即可知答案.
【详解】由点关于原点对称，则对称点坐标为该点对应坐标的相反数，
所以.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.55 ②.
【解析】令易知是首项为，公差为1的等差数列，写出通项公式，再应用累加法求及通项公式，结合求通项公式，进而可得，最后两次应用错位相减法求即可.
【详解】由题设知：令，则是首项为，公差为1的等差数列，故，
所以，即，
由上可得：，则，而，
所以，则，
所以，，
所以，
令，则，
所以，故，
综上，，则.
故答案为：，.
【点睛】关键点点睛：通过图总结规律，易知是等差数列，应用累加法求，再由求通项公式，最后应用错位相减法求前n项和.
14、
【解析】利用的关系，结合是等比数列，即可求得结果.
【详解】因为，故当时，，则，
又当时，，因为是等比数列，故也满足，
即，故，此时满足，则.
故答案为：.
15、∪
【解析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的取值范围.
【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，
即，且，
解得，且，
∴x的取值范围是∪.
故答案为：∪.
16、
【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值

【详解】解：因为在中，，，，
所以由余弦定理可得，
所以，即，
则
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）在和内为减函数，在和内为增函数
【解析】（1）对求导得，
因为在处取得极值，所以，
即，解得；
（2）由（1）得，，
故
，
令，解得或，
当时，，故为减函数，
当时，，故为增函数，
当时， ，故为减函数，
当时，，故为增函数，
综上所知：和是函数单调减区间，
和是函数的单调增区间.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由递推关系式化简及等比数列的的定义证明即可；
（2）根据裂项相消法求解即可得解.
【小问1详解】
证明：由得，
而且，
则，
即数列为首项，公比为的等比数列
【小问2详解】
由上可知，所以，

19、 (1) 双曲线方程为(2) 满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和
【解析】（1）由双曲线焦点可得值，进而可得到的关系式，将点P代入双曲线可得到的关系式，解方程组可求得值，从而确定双曲线方程；（2）求直线方程采用待定系数法，首先设出方程的点斜式，与双曲线联立，求得相交的弦长和O到直线的距离，代入面积公式可得到直线的斜率，求得直线方程
试题解析：（1）由已知及点在双曲线上得
解得；所以，双曲线的方程为
（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为
由 得 设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根，
且即且 ①
这时 ，
又
即
所以 即
又 适合①式
所以，直线的方程为与
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件证得平面即可推理作答.
(2)由与平面BCD所成角确定正边长与CD长的关系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理计算作答.
【小问1详解】
在三棱锥中，平面平面，平面平面，而，
平面，因此有平面，又有平面，
所以.
【小问2详解】
取BC中点F，连接AF，DF，如图，

因为等边三角形，则，而平面平面，平面平面，
平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，即，
令，则，因，即有，由(1)知，，则有，
过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，
中，，，
中，由余弦定理得，
，，显然E是斜边中点，则，
中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值.
21、（1）在、上递增，在上递减；
（2）.
【解析】【小问1详解】
由题设，且定义域为，则，
当或时，；当时，.
所以在、上递增，在上递减.
【小问2详解】
由题设，在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，满足题设；
当时，，可得.
综上，.
22、（1）
（2）4
【解析】（1）根据题意得，解方程得，进而得通项公式；
（2）由题知，进而解不等式得或，再根据即可得答案.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由得=0,
由题意知，，解得，所以d=2
所以.
小问2详解】
解：由（1）可得，
由可得，即，解得或，
因为，
所以，正整数的最小值为.