安徽省部分高中2026届高二数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

安徽省部分高中2026届高二数学第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．若抛物线的焦点为，则其标准方程为
A. B.
C. D.
3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A. B.
C. D.
4．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）
A. B.
C. D.
5．已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）
A.6天 495人 B.7天 602人
C.8天 716人 D.9天 795人
7．已知，，且，则（）
A. B.
C. D.
8．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
9．如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，设，若P到平面的距离为2d，则点P的轨迹是（ ）

A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分
10．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（）
A. B.
C. D.
11．2021年7月，某文学网站对该网站的数字媒体内容能否满足读者需要进行了调查，调查部门随机抽取了名读者，所得情况统计如下表所示：
满意程度
学生族
上班族
退休族
满意

一般

不满意

记满分为分，一般为分，不满意为分.设命题：按分层抽样方式从不满意的读者中抽取人，则退休族应抽取人；命题：样本中上班族对数字媒体内容满意程度的方差为.
则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
12．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2022的直线方程是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的x的取值范围是_________.
14．如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________

15．写出一个离心率且焦点在轴上的双曲线的标准方程________,并写出该双曲线的渐近线方程________
16．若向量，，，且向量，，共面，则
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，满足.

（1）求证：四点共面；
（2）设与交于点，求证：三点共线.
18．（12分）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
19．（12分）求下列函数的导数.
（1）；
（2）.
20．（12分）已知椭圆过点，且离心率
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，，连接与交于点
①若，求；
②求的值
21．（12分）某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表，按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人.

高三
高二
高一
女生
100
150
z
男生
300
450
600

（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人，经检测她们的得分如图所示，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过5分的概率.
22．（10分）公差不为0的等差数列中，，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为．若，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由，当三点共线时，取得最值
【详解】设是椭圆的右焦点，则
又因为，，
所以，则
故选：A
2、D
【解析】由题意设出抛物线的标准方程，再利用焦点为建立，解方程即可.
【详解】由题意，设抛物线标准方程为，
所以，解得，
所以抛物线标准方程为.
故选：D
3、B
【解析】写出每次循环的结果，即可得到答案.
【详解】当时，，，
，；
，此时，退出循环，
输出的的为.
故选：B
【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.
4、D
【解析】由抛物线定义可得，注意开口方向.
详解】设
∵点P到y轴的距离是4
∴
∵，∴.
得
：.
故选：D.
5、C
【解析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.
【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，
故选C.
【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题
6、B
【解析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值
【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，
∴，，
∴天
则目前派出的人数为人，
故选：B
7、D
【解析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解.
【详解】因为，则，所以，，，因此，.
故选：D
8、B
【解析】根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.
【详解】选项A.一条直线垂直于一平面内的，两条相交直线，则改直线与平面垂直
则由，不能得出，故选项A不正确.
选项B. ,则正确，故选项B正确.
选项C若，则与可能相交，可能异面，也可能平行，故选项C不正确.
选项D.若，则与可能相交，可能平行，故选项D不正确.
故选：B
9、B
【解析】取的中点，得出平面，作，在直角中，求得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，
得到平行于平面且过点的平面，如图（1）（2）所示，
作，则P1与 E重合，则，
在直角中，可得，
在图（3）中，设直三棱柱的所有棱长均为，且，
以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，
所以，即
所以，整理得，
所以点P的轨迹是椭圆的一部分.

故选：B.
10、D
【解析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.
【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.
故选：D
11、A
【解析】由抽样比再乘以可得退休族应抽取人数可判断命题，求出上班族对数字媒体内容满意程度的平均分，由方差公式计算方差可判断，再由复合命题的真假判断四个选项，即可得正确选项.
【详解】因为退休族应抽取人，所以命题正确；
样本中上班族对数字媒体内容满意程度的平均分为，
方差为，命题正确，
所以为真，、、为假命题，
故选：
12、A
【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线斜截式方程进行求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角为45°，所以该直线的斜率为，又因为该直线在y轴上的截距为2022，所以该直线的方程为：，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】构造函数利用导数研究单调性，即可得到答案；
【详解】，令，
，
单调递减，且，
，
x的取值范围是，
故答案为：
14、（1，1，1）
【解析】设PD＝a，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，
P(0,0，a)，E(1,1，)，
∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)
由cos〈，〉＝，∴＝a·，
∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)
15、 ①.(答案不唯一) ②.(答案不唯一)
【解析】令双曲线为，根据离心率可得，结合双曲线参数关系写出一个符合要求的双曲线方程，进而写出对应的渐近线方程.
【详解】由题设，可令双曲线为且，
∴，则，
故为其中一个标准方程，此时渐近线方程为.
故答案为：，(答案不唯一).
16、##
【解析】由向量共面的性质列出方程组求解即可.
【详解】因为，，共面，所以存在实数x，y，使得，得，
解得
∴
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】【小问1详解】
连接AC，

分别是的中点，
.
在中，，
所以四点共面.
【小问2详解】
，所以，
又平面平面，
同理平面，
为平面与平面的一个公共点.
又平面平面，即三点共线.
18、（1）
（2）或
【解析】(1)按照所给的条件带入椭圆方程以及e的定义即可；
（2）联立直线与椭圆方程，表达出，解方程即可.
【小问1详解】
由题意知，，且，解得，，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设，.
由得，
则……①，……②，
因为，所以，，
由可得…… ③
由①②③可得，
解得，，
所以直线的方程为或，
故答案为：，或
19、（1）；
（2）.
【解析】利用导数的乘除法则，对题设函数求导即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】

20、（1）
（2）①,②
【解析】（1）由题意得解方程组求出，从而可得椭圆的方程，
（2）①由题意可得的方程为，再与椭圆方程联立，解方程组求出的坐标，从而可求出；②当时，，当时，直线方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可得中点的坐标，再将直线的方程与方程联立，求出点的坐标，从而可求出的值
【小问1详解】
由题意得
解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
① 当时，直线的斜率，
则的垂线的方程为
由 得
解得
故，，
② 由，，显然斜率存在，，
当时，
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为
由 得
显然
设，，则
，
则中点
直线的方程为，
由得
所以
综上的值为
21、（1）400（2）
（3）
【解析】（1）根据分层抽样的方法，列出关系式计算即可；
（2）根据分层抽样的方法，求出抽取的女生人数，进而列举出从样本中抽取2人的所有情况，可根据古典概型的概率公式计算即可；
（3）求出样本平均数，进而求出与样本平均数之差的绝对值不超过5的数，从而利于古典概型的概率公式计算即可.
【小问1详解】
设该校总人数为n人，由题意得，
所以，.
【小问2详解】
设所抽样本中有m个女生，因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以，解得.
所以抽取了2名女生，3名男生，分别记作，；，，，则从中任取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10个，
其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7个，
所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为.
【小问3详解】
样本的平均数为，那么与样本平均数之差的绝对值不超过5的数为94，86，92，87，90，93这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过5的概率为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；
（2）先求出的通项，再利用的单调性即可得到的最小值，从而求得的取值范围
【小问1详解】
依题意，，，所以，
设等差数列的公差为，则，
解得，
所以
【小问2详解】
，则数列是递增数列，
，
所以，
若，则.