上海外国语大学附中2026届高二上数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

上海外国语大学附中2026届高二上数学期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数，的最小值为（）
A.2 B.3
C. D.
2．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最小值 D.有最大值
3．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前n项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）
A. B.
C. D.
4．已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（）
A. B.
C. D.
6．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
7．已知为等差数列，为其前n项和，，则下列和与公差无关的是（ ）
A. B.
C D.
8．已知函数，则（）
A.3 B.
C. D.
9．直线的倾斜角为（ ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
10．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）

A. B.
C. D.
11．若，则（）
A.22 B.19
C.－20 D.－19
12．双曲线的两个焦点坐标是（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“若，则”的否命题为______
14．与直线和直线的距离相等的直线方程为______
15．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，则数列的公差为__________
16．命题“，”的否定是____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：

（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间内的概率；
（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；
18．（12分）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于两点在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值
20．（12分）如图，在正方体中，为棱的中点.求证：

（1）平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
21．（12分）已知，，且Ü，求实数的取值范围.
22．（10分）已知数列的前n项和为，满足，
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，
①求；
②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】求导函数，分析单调性即可求解最小值
【详解】由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增
∴当时，取得最小值，且最小值为
故选：B.
2、C
【解析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.
【详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为
长方体的底面相邻两边分别为，
，当且仅当时，等号成立，
.
故选:C.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.
3、B
【解析】由等差数列基本量法求出通项公式，用裂项相消法求得，求出的最大值，然后利用关于的不等式是一次不等式列出满足的不等关系求得其范围
【详解】设等差数列公差为，则由已知得，解得，∴，
，
∴，
易知数列是递增数列，且，
∴若对于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或
故选：B
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不等式恒成立
4、C
【解析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.
【详解】设圆的标准方程为 ，
将坐标代入得: ,
解得，故圆的方程为，
故选：C.
5、A
【解析】根据椭圆的性质可得，则椭圆方程可求.
【详解】由点在椭圆上得，
由椭圆的对称性可得，则，
故椭圆方程为.
故选：A.
6、A
【解析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果.
【详解】解：由，，成等差数列，可得，
则，，，
可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.
则，
，
则的最大值可能为.
由，，可得.

因为，，，即，所以，则
，当且仅当时，，符合题意，
故的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.
7、C
【解析】依题意根据等差数列的通项公式可得，再根据等差数列前项和公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，所以，，，，
故选：C
8、B
【解析】由导数运算法则求出导发函数，然后可得导数值
【详解】由题意，所以
故选：B
9、B
【解析】根据给定方程求出直线斜率，再利用斜率的定义列式计算得解.
【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，
显然，则有，解得，
直线的倾斜角为.
故选：B
10、B
【解析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.
【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，
∴，设切线为，切线为，
∴，整理得，由知：
，整理得，
同理，，可得，
∴，即，故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.
11、C
【解析】将所求进行变形可得，根据二项式定理展开式，即可求得答案.
【详解】由题意得
所以.
故选：C
12、C
【解析】由双曲线标准方程可得到焦点所在轴及半焦距的长，进而得到两个焦点坐标.
【详解】双曲线中，，则
又双曲线焦点在y轴，故双曲线的两个焦点坐标是和
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、若，则
【解析】否命题是对命题的条件和结论同时否定，同时否定和即可.
命题“若，则”的否命题为:若，则
考点：四种命题.
14、
【解析】设直线方程为，根据两平行直线之间距离公式即可求解.
【详解】设该直线为：，则由两平行直线之间距离公式得：
，故该直线为：；
故答案为：.
15、##
【解析】利用等差数列的定义即得.
【详解】∵数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，
∴.
故答案为：.
16、，
【解析】根据全称命题量词的否定即可得出结果.
【详解】命题“”的否定是“，”
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）平均数为；中位数为.
【解析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.
（2）根据平均数和中位数的定义直接计算得到答案.
【小问1详解】
该居民收入在区间内的概率为：

【小问2详解】
居民月收入的平均数为：
.
第一组概率为，第二组概率为，第三组概率为，
设居民月收入的中位数为，则，解得.
18、（1）；
（2）存在，.
【解析】（1）设出圆心，根据圆心到直线距离等于半径列方程求出的值可得圆心坐标，进而可得圆的方程；
（2）由题可设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理及可得，即得.
【小问1详解】
由已知可设圆心，则，
解得或（舍）.
所以圆.
小问2详解】
由题可设直线的方程为，
由，
得到：显然成立，
所以.①
若轴平分，则，
所以：，
整理得：，
将①代入整理得对任意的恒成立，则.
∴存在点为时，使得轴平分.
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；
(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.
【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，因为平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，
故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，，则，
所以，，，，
由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
所以，
因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接，交于，连接，推导出，由此能证明平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的大小.
【详解】（1）证明：连接，交于，连接，
∵在正方体中，是正方形，∴是中点，
∵为棱的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角的大小为，
则，∴，
∴直线与平面所成角的大小为.

【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角
21、.
【解析】求得集合，根据Ü，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，集合
当时，即，解得，此时满足Ü，
当时，要使得Ü，则或，
当时，可得，即，此时，满足Ü；
当时，可得，即，此时，不满足Ü，
综上可知，实数的取值范围为.
22、（1）证明见解析，
（2）①；②
【解析】（1）由得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式；
（2）①由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
②利用作差法证明的单调性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；
【小问1详解】
证明：由，，当时，可得，解得，
当时，，
又，两式相减得，
所以，所以，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
所以，所以
【小问2详解】
解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以
整理得
②由①知，所以，即单调递增，所以，因为不等式对任意的正整数n恒成立，所以，即，解得或，即