2025年河南省濮阳市华龙区濮阳一中高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年河南省濮阳市华龙区濮阳一中高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2．在长方体中，，，则异面直线与所成角的正弦值是（）

A. B.
C. D.
3．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．若向量，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5．已知数列满足，，则（）
A. B.
C. D.
6．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）
A.12 B.32
C.36 D.37
7．若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（ ）
A. B.
C. D.
8．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．等差数列中，是的前项和，，则（）
A.40 B.45
C.50 D.55
10．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．已知集合，则（）
A. B.
C. D.
12．下列命题中正确的个数为（ ）
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；
③为空间一组基底，若，则；
④对于任意非零空间向量，，若，则
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为__________.
14．已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点.若，则双曲线的离心率为___________.
15．用组成所有没有重复数字的五位数中，满足与相邻并且与不相邻的五位数共有____________个.(结果用数值表示)
16．已知三个数2，，6成等比数列，则实数______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数f（x）+alnx，实数a＞0
（1）当a＝2时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性和极值情况；
（3）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围
18．（12分）某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，……分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图

（1）求直方图中的a值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数（单位：人）；
（2）估计该市居民月均用水量的众数和中位数
19．（12分）【2018年新课标I卷文】已知函数
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，
20．（12分）已知函数，（），
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值
（2）当时，若函数在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围
21．（12分）已知点P到点的距离比它到直线的距离小1.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点M，N在点P的轨迹上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），求面积的最小值.
22．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）令，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】先求得点坐标，然后求得的角平分线所在的直线的方程.
【详解】，
直线的斜率为，
由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，
所以所求直线方程为.
故选：A
2、C
【解析】连接，可得，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，设，设，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
在正方体中，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，
由在长方体中，，，
设，可得，
在直角中，可得，
在中，可得，
所以，
因为，所以.
故选：C.

3、B
【解析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为：，
令，解得，因此点的坐标为：，
因为面积为4，
所以有，即，，
因此抛物线的方程为.
故选：B.
4、A
【解析】根据向量垂直得到方程，求出的值.
【详解】由题意得：，解得：.
故选：A
5、A
【解析】根据递推关系依次求出即可.
【详解】，，
，，，.
故选：A.
6、C
【解析】直接按照等差数列项数性质求解即可.
【详解】数列的前6项之和为.
故选：C.
7、A
【解析】设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则到直线的距离最小值为点到直线的距离，再求解即可.
【详解】解：设，，
设与平行且与相切的直线与切于
所以
所以
则到直线的距离为，
即到直线的距离最小值为，
故选：A
8、C
【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案
【详解】由题意，设椭圆的方程为，
由椭圆的离心率为，面积为，
∴，解得，
∴椭圆的方程为，
故选：C.
9、B
【解析】应用等差数列的性质“若，则”即可求解
【详解
故选：B
10、C
【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.
【详解】函数有两个零点，
方程有两个根，
，分离参数得，
与图象有两个交点，
令，
，令，解得
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，且
在处取得极大值及最大值，
可以画出函数的大致图象如下：

观察图象可以得出.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.
11、B
【解析】先求得集合A，再根据集合的交集运算可得选项.
【详解】解：因为所以
故选：B.
12、C
【解析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④.
【详解】①：向量与空间任意向量都不能构成一个基底，则与共线或与其中有一个为零向量，所以，故①正确；
②：由向量是空间一组基底，则空间中任意一个向量，存在唯一的实数组使得，
所以也是空间一组基底，故②正确；
③：由为空间一组基底，若，
则，所以，故③正确；
④：对于任意非零空间向量，，若，
则存在一个实数使得，有，
又中可以有为0的，分式没有意义，故④错误.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界来求得的最大值.
【详解】，
画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值.
故答案为：

14、
【解析】按题意求得，两点坐标，以代数式表达出条件，即可得到关于的关系式，进而解得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的右焦点为,
其渐近线为，垂线方程为，
则，，，
由，得，即
即，则，离心率
故答案为：
15、
【解析】由题意，先利用捆绑法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.
【详解】因为满足与相邻并且与不相邻，则将捆绑，内部排序得，再对和全排列得，利用插空法将和插空得，所以满足题意得五位数有.
故答案为：
16、
【解析】由题意可得，从而可求出的值
【详解】因为三个数2，，6成等比数列，
所以，解得
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）4x﹣y+2＝0
（2）答案见解析（3）（0，2）∪（2，+∞）
【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）求得f（x）的导数，分a、0＜a两种情况讨论求出答案即可；
（3）由题意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成关于的函数，结合其单调性和极值可得答案
【小问1详解】
函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝2时，，
导数为4，
可得f（x）在x＝1处的切线的斜率为4，又f（1）＝6，
所以f（x）在x＝1处的切线的方程为y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0；
【小问2详解】
f（x）的导数为f′（x）a2，x＞0，
令f′（x）＝0，可得x（舍去），
①当010，即a时，当0＜x时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＜10时，f′（x）＞0，f（x）递增
所以f（x）在（0，）上递减，在（，10）上递增，
f（x）在x处取得极小值，无极大值；
②当10即0＜a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上递减，无极值
综上可得，当a时，f（x）在（0，）单调递减，在（，10）上单调递增，
f（x）在x时取得极小值，无极大值
当0＜a时，f（x）在区间（0，10）上递减，无极值；
【小问3详解】
存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立
等价为存在x∈（0，+∞），使得不等式alnx﹣2＜0成立
令，x＞0，g′（x），
因为a＞0，可得当0＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x时，g′（x）＞0，g（x）递增，
所以当x时，g（x）取得极小值，且为最小值，
由题意可得，
令，，
令h′（x）＝0，可得x＝2，
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当x∈（2∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减
所以当x＝2时，h（x）取得极大值，且为最大值h（2）＝0
所以满足的实数a的取值范围是（0，2）∪（2，+∞）

18、（1）a0.3，72000人；
（2）众数2.25；中位数2.04.
【解析】（1）根据所有小长方形面积和为1即可求得参数，结合题意求得用水量不少于3吨对应的频率，再求频数即可；
（2）根据频率分布直方图直接写出众数，根据中位数的求法，结合频率的计算，即可容易求得结果.
【小问1详解】
由频率分布直方图，可知：
，解得；
月均用水量不少于3吨的人数为：（人）
【小问2详解】
由图可估计众数为2.25；
设中位数为x吨，因为前5组的频率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，
而前4组频率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，
由，可得，
故居民月均用水量的中位数为2.04吨.
19、 (1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；
(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.
详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–
由题设知，f ′（2）=0，所以a=
从而f（x）=，f ′（x）=
当02时，f ′（x）>0
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增
（2）当a≥时，f（x）≥
设g（x）=，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0
因此，当时，
点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.
20、
【解析】（1）求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，列方程组,即可求出的值；（2）求k的取值范围．,先求出的解析式,由已知时，设,求导函数，确定函数的极值点，进而可得时，函数在区间上的最大值为；时，函数在在区间上的最大值小于，由此可得结论
试题解析：（1）,因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以,所以;
（2）当时，，，，令，则，令，得，所以在与上单调递增，在上单调递减，其中为极大值，所以如果在区间最大值为，即区间包含极大值点，所以
考点：导数的几何意义，函数的单调性与最值
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件可得点P到点的距离等于它到直线的距离，再由抛物线定义即可得解.
(2)由(1)设出点M，N的坐标，再结合给定条件及三角形面积定理列式，借助均值不等式计算作答.
【小问1详解】
因点P到点的距离比它到直线的距离小1，显然点P与F在直线l同侧，
于是得点P到点的距离等于它到直线的距离，则点P的轨迹是以F为焦点，直线为准线的抛物线，
所以点P的轨迹方程是.
【小问2详解】
由(1)设点，，且，因，则，解得，

，
当且仅当，即时取“=”，
所以面积的最小值为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
22、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）根据数列通项与前项和的关系，构造新等式，作差整理得到，进而求解结论；
（2）求出数列{an}的通项公式，再代入裂项求和即可.
【小问1详解】
证明：因为，
所以当时，，
两式相减，得到，
整理得，
又因为an＞0，所以，
所以数列{an}是等差数列，公差为3；
【小问2详解】
证明：当n＝1时，6S1＝（a1+1）（a1+2），
解得a1＝1或a1＝2，
因为a1＜2，所以a1＝1，
由（1）可知公差d＝3，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，
所以，
所以＝.