安徽省皖东县中联盟2025-2026学年高二上数学期末综合测试试题含解析.doc

安徽省皖东县中联盟2025-2026学年高二上数学期末综合测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，则向量等于（）
A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）
C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）
2．《九章算数》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积为3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）
A.1升 B.升
C.升 D.升
3．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为（ ）
A. B.3
C. D.6
4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A.4 B.9
C.23 D.64
5．如下图，边长为2的正方体中，O是正方体的中心，M，N，T分别是棱BC，，的中点，下列说法错误的是（）

A. B.
C. D.到平面MON的距离为1
6．（）
A. B.
C. D.
7．已知直线，若异面，，则的位置关系是（ ）
A.异面 B.相交
C.平行或异面 D.相交或异面
8．已知函数，则下列判断正确的是（）
A.直线与曲线相切
B.函数只有极大值，无极小值
C.若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数
D.若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数
9．命题的否定是（）
A. B.
C. D.
10．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A. B.
C. D.

11．命题“存在，使得”的否定为（）
A.存在， B.对任意，
C.对任意， D.对任意，
12．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A.2 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．复数的共轭复数是__________
14．已知数列的前的前n项和为，数列的的前n项和为，则满足的最小n的值为______
15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果________

16．美好人生路车站早上有6：40，6：50两班开往A校的公交车，若李华同学在早上6：35至6：50之间随机到达该车站，乘开往A校的公交车，公交车准时发车，则他等车时间不超过5分钟的概率为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线，直线交于、两点，且当时，.

（1）求的值；
（2）如图，抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、，和交于，.证明：存在实数，使得.
18．（12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）
（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：
表1：
生产能力分组

人数
4
8
x
5
3
表2：
生产能力分组

人数
6
y
36
18
①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）

图1A类工人生产能力的频率分布直方图　　图2B类工人生产能力的频率分布直方图
19．（12分）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，离心率为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线与椭圆C交于P，Q两点，直线PA与QB的斜率分别为，，且，那么直线l是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由.
20．（12分）平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（1）求椭圆M的方程；
（2）C，D为椭圆M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD与AB垂直，求四边形ACBD面积的最大值.
21．（12分在中，角的对边分别为，已知， , 且 .
（1）求角的大小；
（2）若，面积为，试判断的形状，并说明理由.
22．（10分）已知抛物线上任意一点到焦点F最短距离为2，
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线，互相垂直，且与C分别交于A，B，M，N四点，求四边形AMBN面积的最小值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以.
故选：B.
2、B
【解析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积
【详解】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：，，，，且为等差数列，
根据题意得：，，
即①，②，②①得：，解得，
把代入①得：，
则
故选：B
【点睛】本题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，属于中档题
3、C
【解析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，，
∴，∴，
∴

，
故选：C
4、C
【解析】直接按程序框图运行即可求出结果.
【详解】初始化数值，，
第一次执行循环体，，，1≥4不成立；
第二次执行循环体，，，2≥4不成立；
第三次执行循环体，，，3≥4不成立；
第四次执行循环体，，，4≥4成立；输出
故选：C
5、D
【解析】建立空间直角坐标系，进而根据空间向量的坐标运算判断A,B,C；对D，算出平面MON的法向量，进而求出向量在该法向量方向上投影的绝对值，即为所求距离.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则.

对A，，则，则A正确；
对B，，则，则B正确；
对C，，则C正确；
对D，设平面MON的法向量为，则，取z=1，得，，所以到平面MON的距离为,则D错误.
故选：D.
6、B
【解析】根据微积分基本定理即可直接求出答案.
【详解】
故选：B.
7、D
【解析】以正方体为载体说明即可.
【详解】如下图所示的正方体：
和是异面直线，，；
和是异面直线，，与是异面直线.
所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.
故选：D

8、C
【解析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数.
【详解】，，令，得，所以，
因为，，所以曲线在点处的切线方程为，故A错；
当时，存在使，且当时，；
当时，，即有极小值，无极大值，故B错误；
设为的极值点，则，且，
所以，，当时，
；当时，，
故C正确，D错误.
9、C
【解析】根据含全称量词命题的否定可写出结果.
【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定是.
故选：C
10、B
【解析】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得
详解：由题可知

在中，
在中,

故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题
11、D
【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.
【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.
故选：D.
12、D
【解析】设，由，得到四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.
【详解】如图所示：

设，则，，，
因为，所以，
则四边形是矩形，
在中，，
即，解得，
在中，，
即，
解得，
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用复数除法化简，由共轭复数的概念写出即可.
【详解】，
∴.
故答案为：
14、9
【解析】由数列的前项和为，则当时，，
所以，
所以数列的前和为，
当时，，
当时，，
所以满足的最小的值为.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
15、132
【解析】根据程序框图模拟程序运行，确定变量值的变化可得结论
【详解】程序运行时，变量值变化如下：
，
判断循环条件，满足，，；
判断循环条件，满足，，；
判断循环条件，不满足，输出
故答案为：132
16、
【解析】根据题意，李华等车不超过5分钟，则他必须在6:35-6:40或者6:45-6:50到达，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.
【详解】由题意，李华等车不超过5分钟，则他必须在6:35-6:40或者6:45-6:50到达，则所求概率.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）将代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的等式，即可解得正数的值；
（2）将代入，列出韦达定理，求出两切线方程，进而可求得点的坐标，分、两种情况讨论，在时，推导出、、重合，可得出；在时，求出的中点的坐标，利用斜率关系可得出，结合平面向量的线性运算可证得结论成立.
【小问1详解】
解：将代入得，
设、，则，由韦达定理可得，
则，
解得或（舍），故.
【小问2详解】
解：将代入中得，
设、，则，由韦达定理可得，
对求导得，则抛物线在点处的切线方程为，
即，①
同理抛物线在点处的切线方程为，②
联立①②得，所以，所以点的坐标为，
当时，即切线与交于轴上一点，
此时、、重合，由，则，
又，则存在使得成立；
当时，切线与轴交于点，切线与轴交于点，
由，得的中点，
由得，即，
又，所以，所以，，
又，所以存在实数使得成立.
综上，命题成立.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18、（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B类②123，133.8，131.1
【解析】（1）先计算抽样比为，进而可得各层抽取人数（2）①类、类工人人数之比为，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出和即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数.
【详解】（1）由已知可得：抽样比，
故类工人中应抽取：人，
类工人中应抽取人，
（2）①由题意知，得，
，得
满足条件的频率分布直方图如下所示：

从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小
②，

类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1
【点睛】本题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力
19、（1）
（2）恒过点
【解析】（1）设为椭圆上的点，根据椭圆的性质得到，再根据的取值范围，得到，再根据离心率求出、，最后根据，求出，即可得解；
（2）设、，表示出、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由，即可得到，再根据，即可得到，从而得到，再将、代入计算可得；
【小问1详解】
解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，所以，因为，所以，又，所以、，因为，所以，所以椭圆方程为；
【小问2详解】
解：设、，依题意可得、，所以、，联立得，则即，所以、，因为，所以，即，由得，即，所以，即，，整理得，所以，即，即，解得或，当时直线过点，故舍去，所以，则直线恒过点；
20、（1）
（2）
【解析】（1）设，，的中点为，利用“点差法”求解；
（2）由求得A，B的坐标，进而得到的长，再根据，设直线的方程为，由，求得的长，然后由四边形的面积为求解.
【小问1详解】
解：把右焦点代入直线，得，
设，，的中点为，
则，，相减得，
即，
即，即.
又，，则.
又，解得，，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
联立消去，可得，解得或，
故交点为，.
所以.
因为，所以可设直线的方程为，，，
联立消去，得到，
因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，
解得，且，
又，则.
故四边形的面积为，
故当时，取得最大值，最大值为.所以四边形的面积的最大值为.
21、（1）；（2）为等边三角形
【解析】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，从而得角A；
（2）由S△ABC＝bcsinA＝，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；联立①②可求得b＝c＝，从而可判断△ABC的形状
【详解】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC＝0，
∴2sinBcosA﹣sin（A+C）＝0，sinB（2cosA﹣1）＝0
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝．∵0＜A＜π，
∴A＝
（2）△ABC为等边三角形，∵S△ABC＝bcsinA＝，
即bcsin＝，∴bc＝3，①
∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，A＝，a＝，∴b2+c2＝6，②
由①②得b＝c＝，∴△ABC为等边三角形
【点睛】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题
22、（1）
（2）128
【解析】（1）设抛物线上任一点为，由可得答案.
（2）由题意可知，的斜率k存在且不为0,设出其方程并与抛物线方程联立，得出韦达定理，从而得出弦长的表达式，同理得出弦长的表达式，进而得出四边形AMBN面积的不等式，从而求出其最小值.
【小问1详解】
设抛物线上任一点为，则，
所以当时，，
又∵，∴，即
所以抛物线C的方程为
【小问2详解】
设交抛物线C于点，,交抛物线C于点，
由题意可知，的斜率k存在且不为0
设的方程为由，得
，
同理可得，

，
当且仅当时，即时，等号成立
∴四边形AMBN面积的最小值为128