吉林省长春市汽车经济技术开发区第六中学2025-2026学年高二上数学期末检测模拟试题含解析.doc

吉林省长春市汽车经济技术开发区第六中学2025-2026学年高二上数学期末检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的最小值为（）
A. B.
C. D.
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）
A. B.
C. D.
3．过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）
A.或 B.2或
C.或 D.2或
4．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（）
A. B.
C. D.
5．圆（）上点到直线的最小距离为1，则
A.4 B.3
C.2 D.1
6．定义在区间上的函数满足：对恒成立，其中为的导函数，则
A.
B.
C.
D.
7．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
8．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
9．已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知直线l和两个不同的平面，，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.02
C.63 D.14
12．为发挥我市“示范性高中”的辐射带动作用，促进教育的均衡发展，共享优质教育资源．现分派我市“示范性高中”的5名教师到，，三所薄弱学校支教，开展送教下乡活动，每所学校至少分派一人，其中教师甲不能到学校，则不同分派方案的种数是（ ）
A.150 B.136
C.124 D.100
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在直三棱柱中，，为中点，则平面与平面夹角的正切值为___________.

14．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接NF交抛物线C于点Q，则__________
15．已知正方体,点在底面内运动,且始终保持平面,设直线与底面所成的角为,则的最大值为______.
16．等差数列的前n项和分别为，若对任意正整数n都有，则的值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值
18．（12分）已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由
19．（12分）已知，p：，q：
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知，曲线与曲线相交于A，B两点，求.
21．（12分）在三角形ABC中，三个顶点的坐标分别为，，，且D为AC的中点.
（1）求三角形ABC的外接圆M方程；
（2）求直线BD与外接圆M相交产生的相交弦的长度.
22．（10分）2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成；2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强、农村美、农民富全面实现．某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2012年到2020年盈利情况：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
盈利y（百万）
6.0
6.1
6.2
6.0
6.4
6.9
6.8
7.1
7.0
（1）根据表中数据判断年盈利y与年份代码x是否具有线性相关性；
（2）若年盈利y与年份代码x具有线性相关性，求出线性回归方程并根据所求方程预测该企业2021年年盈利（结果保留两位小数）
参考数据及公式：，，，
，，
统计中用相关系数r来衡量变量y，x之间的线性关系的强弱，当时，变量y，x线性相关
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】不妨设，由题意，可得，构造函数，则在上单调递增，从而有在上恒成立，分离参数转化为最值即可求解.
【详解】解：由题意，不妨设，
因为对任意两个不等的正实数，，都有，
所以，即，
构造函数，则，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为，所以，
所以，实数的最小值为.
故选：B.
2、B
【解析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.
【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，
∴椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，
∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴双曲线方程为，
故选：B.
3、D
【解析】求得点A，B的坐标，利用转化为坐标比求解.
【详解】不妨设直线，
由题意得，解得，即；
由得，即，
因为，
所以，所以
当时，，；
当时，，则，
故选：D
4、D
【解析】根据命题真假的判断，对四个选项一一验证即可.
【详解】对于A：若，则必成立；
对于B：若，则必成立；
对于C：若，则必成立；
对于D：由不能得出，所以不可能是.
故选：D
5、A
【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.
【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题
6、D
【解析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出
【详解】令，，
，
，恒成立，
，，
，函数在上单调递增，
，
令，，，
，恒成立，
，函数在上单调递减，
，．综上可得：，
故选：D
【点睛】函数的性质是高考的重点内容,本题考查的是利用函数的单调性比较大小的问题,通过题目中给定的不等式,分别构造两个不同的函数求导判出单调性从而比较函数值得大小关系．在讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则．对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响
7、A
【解析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角
【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为
故选：A
8、A
【解析】设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.
【详解】设，中点，则，，
又，，则，
所以，
又，则，而，，
所以，即，
综上，，整理得，即为M的轨迹方程，
所以在圆心为，半径为的圆上，则.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于的轨迹方程.
9、B
【解析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
10、D
【解析】根据直线、平面的位置关系，应用定义法判断两个条件之间的充分、必要性.
【详解】当，时，直线l可与平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；
当，时，直线l可在平面内，故不一定成立，即必要性不成立.
故选：D.
11、D
【解析】由随机数表法抽样原理即可求出答案.
【详解】根据题意，依次读出的数据为65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三个个体编号为14.
故选：D.
12、D
【解析】对甲所在组的人数分类讨论即得解.
【详解】当甲一个人去一个学校时，有种；
当甲所在的学校有两个老师时，有种；
当甲所在的学校有三个老师时，有种；
所以共有28+48+24=100种.
故选：D
【点睛】方法点睛：排列组合常用方法有：简单问题直接法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由条件可得均为等腰直角三角形，从而，先证明平面，从而，即得到 为平面与平面夹角的平面角，从而可求解.
【详解】由，则，则
在直三棱柱中, 平面，又平面,则
又，所以平面
平面,所以
由由条件可得均为等腰直角三角形，则
所以，即, 由
所以平面,又平面
所以，即 为平面与平面夹角的平面角.
在直角中,
所以
故答案为：
14、
【解析】由题意画出图形，写出直线的方程，与抛物线方程联立求出的坐标，进一步求出的坐标，求得即可求解
【详解】解：如图，
由抛物线，得，，则，与抛物线联立得，解得、
，，
，，
，为等边三角形，
，

过作轴的垂线交轴于，
设，
，
，
，
，
在抛物线上，
，解得，
，
，，
则，
故答案为：
15、
【解析】画出立体图形,因为面面,在底面内运动,且始终保持平面,可得点在线段上运动,因为面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等,即可求得答案.
【详解】连接和

,
面面
在底面内运动,且始终保持平面
可得点在线段上运动,
面面,
直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等
面
直线与底面所成的角为:
有图像可知:
长是定值,
当最短时,,即最大,即角最大
设正方体的边长为

,

故
故答案为:
【点睛】本题考查了求线面角的最大值,解题是掌握线面角的定义和处理动点问题时,应画出图形,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
16、##0.68
【解析】利用等差数列求和公式与等差中项进行求解.
详解】由题意得：，同理可得：，所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；
(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.
【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，因为平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，
故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，，则，
所以，，，，
由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
所以，
因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
18、（1）；
（2）是定值，.
【解析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程；
(2)设出直线的方程，结合韦达定理，分别求得为定值，也为定值，从而可得是定值
【小问1详解】

由题意知，
，
根据椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆
设椭圆的方程为，
则，，
曲线的方程为；
【小问2详解】
由题意知直线的方程为且m≠0)，
设直线与椭圆的交点为，，，，
由得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是定值，为．
19、（1）（2）或
【解析】（1）根据命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式解得结果即可得解；
（2）“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于 与一真一假，分两种情况列式可得结果.
【详解】（1）因为p：对应的集合为，q：对应的集合为，且p是q的充分不必要条件，
所以，所以，解得.
（2），当时，，
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以与一真一假
当真时，假，所以，此不等式组无解；
当真时，假，所以，解得或.
综上所述：实数x的取值范围是或.
【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数取值范围，一般可根据如下规则转化：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
20、（1），
（2）2
【解析】（1）消参数即可得曲线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化关系式，从而曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得关于的一元二次方程，由韦达定理得，即可得的值.
【小问1详解】
由，消去参数，得，即，
所以曲线的普通方程为.
由，得，即，
所以曲线的直角坐标方程为
【小问2详解】
将代入，整理得，
则，令方程的两个根为
由韦达定理得，所以.
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据题意，结合直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，即可求解；
（2）根据题意，结合点到直线的距离，以及弦长公式，即可求解.
【小问1详解】
根据题意，易知是以BC为斜边的直角三角形，
故外接圆圆心是B，C的中点，半径为BC长度的一半为，
故三角形ABC的外接圆M方程为.
【小问2详解】
因为D为AC的中点，所以易求.
故直线BD的方程为，
圆心到直线的距离，
故相交弦的长度为.
22、（1）年盈利y与年份代码x具有线性相关性
（2），7.25百万元
【解析】（1）根据表中的数据和提供的公式计算即可；
（2）先求线性回归方程，再代入计算即可
【小问1详解】
由表中的数据得，，，
，
因为，
所以年盈利y与年份代码x具有线性相关性
【小问2详解】
，
，，当时，，
该企业2021年年盈利约为7.25百万元