2026届河北省唐县一中高二数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2026届河北省唐县一中高二数学第一学期期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点到直线的距离是（）
A. B.
C. D.
2．若圆与圆外切，则（ ）
A. B.
C. D.

3．已知函数在处取得极值，则（）
A. B.
C. D.
4．已知等比数列中，，，则首项（ ）
A. B.
C. D.0
5．已知两条不同直线和平面，下列判断正确的是（ ）
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
6．若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（）
A. B.2
C. D.4
7．某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
8．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是
A. B.
C. D.
9．命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是
A.若是偶数，则与不都是偶数
B.若是偶数，则与都不是偶数
C.若不是偶数，则与不都是偶数
D.若不是偶数，则与都不是偶数
10．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若，则当最大时，（）
A. B.1
C. D.2
11．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（）
A. B.
C. D.
12．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（）
A. B.
C.2 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______
14．四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥体积为_______
15．在等比数列中，若，，则数列的公比为___________.
16．二项式的展开式中，项的系数为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：

（1）求的值；
（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；
（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：
纤维长度
小于30mm
大于等于30mm，小于40mm
大于等于40mm
等级
二等品
一等品
特等品
从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.
18．（12分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按年龄将这120名群众分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求图中m的值；
（2）估算这120名群众的年龄的中位数（结果精确到0.1）；
（3）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率.
19．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.

（1）求点到平面的距离；
（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.
20．（12分）已知圆.
（1）若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）求与圆和直线都相切的最小圆的方程.
21．（12分）为落实国家扶贫攻坚政策，某地区应上级扶贫办的要求，对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该地区贫困户从2017年至2020年的收入统计数据：（其中y为贫困户的人均年纯收入）
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代码
1
2
3
4
人均年纯收入y/百元
25
28
32
35

（1）在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图；
（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计A贫困户在年能否脱贫.（注：假定脱贫标准为人均年纯收入不低于元）
参考公式：，
参考数据：，.
22．（10分）如图，五边形为东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在赛道设计时需预留出，两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道．现已知，，千米，千米

（1）求服务通道的长
（2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大，并求最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】直接使用点到直线距离公式代入即可.
【详解】由点到直线距离公式得
故选：B
2、C
【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆
可得，，
因为两圆相外切，可得，解得
故选：C.
3、B
【解析】根据极值点处导函数为零可求解.
【详解】因为，则，
由题意可知.经检验满足题意
故选：B
4、B
【解析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式，列出方程组，即可求得，进而可求得答案.
【详解】设等比数列公比为q，则，解得，
所以.
故选：B
5、D
【解析】根据线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系即可判断.
【详解】解：对于选项A：若则与可能平行，可能相交，可能异面，故选项A错误；
对于选项B：若，则，故选项B错误；
对于选项C：当时不满足，故选项C错误；
综上，可知选项D正确.
故选：D.
6、A
【解析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值
【详解】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点，
点到直线的距离为，
所以所求最大值为
故选：A

7、A
【解析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得结果.
【详解】由题意有，得，
又由，得，
解得，，有
故选：A.
8、A
【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解
【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，

∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，
∴点P到直线和直线的距离之和，
∴当B，P，F三点共线时，最小，
∵，∴，
∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为
故选：A
9、C
【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数
考点：四种命题
10、B
【解析】根据抛物线的定义，结合换元法、配方法进行求解即可.
【详解】因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为，抛物线的焦点为F，所以，抛物线的准线方程为：，因此，
令，
，
当时，即当时，有最大值，最大值为1，此时.
故选：B
11、C
【解析】求出圆心到直线的距离，再利用，化简求值，即可得到答案.
【详解】圆的圆心为，圆心到直线的距离公式为，

故
故选：C.
12、A
【解析】由条件建立a，b，c的关系，由此可求离心率的值.
【详解】设，则，
∵ ，∴，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ 离心率，
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.
【详解】由题意，，即，整理有，
所以或，
若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，
所以，则，又，
综上，双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：若Q到的距离为，根据给定性质有Q到左、右焦点的距离分别为、，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围.
14、
【解析】计算，，得到底面，计算，，计算体积得到答案.
【详解】由，，所以底面，
，
故，
体积为.
故答案为：16.
15、##
【解析】求出等比数列的公比，利用定义可求得数列的公比.
【详解】设等比数列的公比为，则，
因此，数列的公比为.
故答案为：.
16、80
【解析】利用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为：，
令，所以项的系数为，
故答案为：80

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.
（2）根据平均数的公式可得到答案.
（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花
小问1详解】
由解得
【小问2详解】
该样本数据的平均数为：

【小问3详解】
由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：
两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率

18、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求出；
（2）求出概率对应的值即为中位数；
（3）求出第一组中总人数，得女性人数，然后求得恰有一名女性的方法数和总的方法数后可得概率
【小问1详解】
解：因为频率分布直方图的小矩形面积和为1，
所以，解得，
【小问2详解】
解：前2组频率和为，前3组频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为，则，；
【小问3详解】
解：第一组总人数为，男性人2人，则女性有4人，
不妨记两名男性为，四名女性为，
则随机抽取2名群众的可能为，，，共15种方案，其中恰有一名女性的方法数，共8种，
所以第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率为
19、（1）
（2）线段上存在一点，当时，平面.
【解析】（1）设点到平面的距离为，则由 ，由体积法可得答案.
（2）由（1）连接,可得则从而平面，过点作交于点，连接，可证明平面平面，从而可得出答案.
【小问1详解】
由，，为中点，则
由平面，平面,则
又，且,则平面
又，则平面,且都在平面内
所以
所以,
取的中点，连接，则,所以,所以
所以
所以
则

设点到平面的距离为，则由
即,即
【小问2详解】
线段上是否存在一点，使平面.
由（1）连接,则四边形为平行四边形，则
过点作交于，则
为中点，则为的中点,即
又平面，则平面
过点作交于点，连接，则,即
又平面,所以平面
又，所以平面平面
又 平面,所以平面
所以线段上存在一点，当时，平面.

20、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据题意设出直线的方程，然后根据直线与圆相切，即可求出答案；
（2）首先根据题意判断出最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，
然后设出最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，从而可求出答案.
【小问1详解】
因为直线不过原点，设直线的方程为，
圆的标准方程为，
若直线与圆相切，则，即，解得或者3，
所以直线的方程为或者；
【小问2详解】
因为，所以直线与圆相离，
所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上，
即最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，
设最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，
所以，即，
解得(舍)或，
所以最小的圆的方程为.
21、（1）散点图见解析；
（2），能够脱贫.
【解析】（1）直接画出点即可；
（2）利用公式求出与即可求出，把代入即可估计出A贫困户在2021年能否脱贫.
【小问1详解】
画出y关于x的散点图，如图所示：
【小问2详解】
根据表中数据，计算，
，
又因为，，
所以，
，
关于的线性回归方程，
当时，（百元），
估计年A贫困户人均年纯收入达到元，能够脱贫.
22、（1）服务通道的长为千米
（2）时，折线赛道的长度最大，最大值为千米
【解析】（1）先在中利用正弦定理得到长度，再在中，利用余弦定理得到即可；
（2）在中利用余弦定理得到，再根据基本等式求解最值即可.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得：
，
在中，由余弦定理，
得，
即
解得或（负值舍去）
所以服务通道的长为千米
【小问2详解】
在中，由余弦定理得：，
即，所以
因为，所以，
所以，即（当且仅当时取等号）
即当时，折线赛道的长度最大，最大值为千米