2025-2026学年山东省德州市陵城区第一中学数学高二上期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年山东省德州市陵城区第一中学数学高二上期末综合测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，，，则的值是（）
A.130 B.260
C.156 D.168
2．下列说法中正确的是（）
A.存在只有4个面的棱柱 B.棱柱的侧面都是四边形
C.正三棱锥的所有棱长都相等 D.所有几何体的表面都能展开成平面图形
3．已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为

A.1 B.
C.2 D.
4．在等差数列中，若，，则公差d=（）
A. B.
C.3 D.－3
5．已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
6．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A. B.
C. D.
7．设双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（）

A. B.
C. D.
8．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2022的直线方程是（）
A. B.
C. D.
9．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A.（0，0） B.（2，2）
C. D.
11．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

A. B.
C. D.
12．双曲线的左焦点到其渐近线的距离是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，若该圆柱的底面圆直径是其母线长的2倍，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为______

14．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．
15．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是___________.

①甲比乙的极差大；
②乙的中位数是18；
③甲的平均数比乙的大；
④乙的众数是21.
16．有一组数据：，其平均数是，则其方差是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点
求证：（1）共面；
（2）求证：

18．（12分）已知数列满足且
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，

（1）证明：；
（2）当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为？
20．（12分）已知椭圆C：短轴长为2，且点在C上
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程
21．（12分）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.
22．（10分）已知椭圆的左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点
（1）若，证明：直线必过坐标原点；
（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由等差数列的性质计算得到，进而利用求和公式，变形求出答案.
【详解】由题意得：，故
故选：A
2、B
【解析】对于A、B：由棱柱的定义直接判断；
对于C：由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，即可判断；
对于D：由球的表面不能展开成平面图形即可判断
【详解】对于A：棱柱最少有5个面，则A错误；
对于B：棱柱的所有侧面都是平行四边形，则B正确；
对于C：正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，则C错误；
对于D：球的表面不能展开成平面图形，则D错误
故选：B
3、A
【解析】∵圆的方程为，即，
∴圆的圆心为，半径为2.
∵直线过点且与直线垂直
∴直线.
∴圆心到直线的距离.
∴直线被圆截得的弦长，
又∵坐标原点到的距离为，
∴的面积为.
考点：1、直线与圆的位置关系；2、三角形的面积公式.

4、C
【解析】由等差数列的通项公式计算
【详解】因为，，所以.
故选：C
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列通项公式可得，
5、A
【解析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果
【详解】∵双曲线的离心率，
∴
又由，得，
即双曲线（）的渐近线方程为，
∴双曲线的渐近线方程为
故选：A
6、C
【解析】根据题先求出阅读过西游记人数，进而得解.
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C
【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题
7、C
【解析】据三角形中位线可得；再由双曲线的定义求出，进而求出的面积
【详解】双曲线的方程为：，，
设以为直径的圆与直线相切与点，则，且，，∥.
又为的中点，，
又，，
的面积为：.
故选:C
8、A
【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线斜截式方程进行求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角为45°，所以该直线的斜率为，又因为该直线在y轴上的截距为2022，所以该直线的方程为：，
故选：A
9、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断
【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，
若数列为单调递增数列，则有
（），
所以，
因为，所以，
所以当时，数列为单调递增数列，
而当数列为单调递增数列时，不一定成立，
所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，
故选：A
10、B
【解析】设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出
【详解】如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为
故选：B
11、D
【解析】解：，设F1F2=2c，
∵△F2AB是等边三角形，
∴∠A F1F2==30°，
∴AF1=c，AF2=c，
∴a= (c-c)2，e=2c(c-c)=+1，
故选D
12、A
【解析】求出双曲线焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】在双曲线中，，，，
所以，该双曲线的左焦点坐标为，渐近线方程为，即，
因，该双曲线的左焦点到渐近线的距离为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】取CD的中点O，以O为原点，以CD所在直线为x轴，
以底面内过点O且与CD垂直的直线为y轴，
以过点O且与底面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，，，
，，，
所以，
所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为
故答案为：
14、
【解析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，

，即异面直线A1M与DN所成角的大小是
考点：异面直线所成的角
15、①③④
【解析】根据茎叶图提供的数据求出相应的极差、中位数、均值、众数再判断
【详解】由茎叶图，甲的极差是37－8＝29，乙的极差是23－9＝14，甲极差大，①正确；
乙中位数是，②错；
甲平均数是：，
乙的平均数为：16.9，③正确；
乙的众数是21，④正确
故答案为：①③④
16、2
【解析】先按照平均数算出a，再按照方差的定义计算即可。
【详解】∵，所以，
方差，
故答案为：2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，， 0 ，，，，，从而，由此能证明共面
（2） 求出， 0 ，，，，，由，能证明
【详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，

共面.

（2），

【点睛】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题
18、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】（1）对递推公式进行变形，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
因为，且，
所以即，所以数列是公差为2的等差数列.
又，所以即；
【小问2详解】
由（1）得，所以.
故

.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由线面垂直的判断定理证明平面PAB，再由线面垂直的性质定理即可证明；
（2）以A为原点，AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面PCD的法向量的坐标，根据直线AB与平面PCD所成角的正弦值为利用向量法可求得，从而可求解PB的长.
【小问1详解】
证明：因为底面ABCD，又平面ABCD，
所以，又，，AB，平面PAB，
所以平面PAB，又平面PAB，
所以；
小问2详解】
解：因为底面ABCD，，
所以以A为原点，AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，，
所以，则，，
所以，，，，
设，则，，
，设平面PCD的法向量为，
则，令，则，，
所以，
所以，解得，则，
所以当时，直线AB与平面PCD所成角正弦值为
20、（1）；
（2）或.
【解析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a；
(2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据＝即可求出m的值.
【小问1详解】
∵短轴长为2，∴，∴，
又∵点在C上，∴，∴，
∴椭圆C的标准方程为；
【小问2详解】
由(1)知，
∵当直线l斜率为0时，不符合题意，
∴设直线l的方程为：，
联立，消x得：，
∵，
∴设，，则，
∵，∴，∴，
即，解得，
∴直线l的方程为：或.
21、（1）(,).（2）
【解析】（1）根据条件列关于P点坐标得方程组，解得结果，（2）先根据点到直线距离公式结合条件解得点M坐标，再建立的函数解析式，最后根据二次函数性质求最小值.
【详解】解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)
设点P(,),则={+6,},={－4,},
由已知可得
则2+9－18=0,解得=或=－6.
由于>0,只能=,于是=.
∴点P的坐标是(,).
（2）直线AP的方程是－+6=0.
设点M(,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离为,
则,
由于－6≤≤6, ∴当=时,取得最小值.
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到过定点，进而可得到点在以为直径的圆上运动，从而可求出动点的轨迹方程
【小问1详解】
设，则，即
因为，，所以
因为，所以，所以.
同理可证.
因为，，所以四边形为平行四边形，
因为为的中点，所以直线必过坐标原点
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立，整理得，
则，，.
因为，所以，
因为
，解得或.
当时，直线的方程为过点A，不满足题意，所以舍去；
所以直线的方程为，所以直线过定点.
当直线的斜率不存在时，因为，所以直线的方程为，经验证，符合题意.
故直线过定点.
因为为的中点，为的中点，所以过定点.
因为垂直平分公共弦，所以点在以为直径的圆上运动，
该圆的半径，圆心坐标为，
故动点的轨迹方程为．