2025年陕西省咸阳市兴平市西郊中学数学高二第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年陕西省咸阳市兴平市西郊中学数学高二第一学期期末达标检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在空间四边形OABC中，，，，点N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，则（ ）

A. B.
C. D.
2．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（）
A. B.
C.2 D.
3．已知命题是真命题，那么的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．不等式的解集是（ ）
A. B.
C.或 D.或
5．在长方体中，若，，则异而直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
6．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标与向量的模长分别是（）
A.；5 B.；
C.； D.；
7．设是等差数列的前n项和，若，，则（）
A.26 B.－7
C.－10 D.－13
8．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
9．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（）
A.里 B.里
C.里 D.里
10．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（）
A. B.
C.或 D.或
11．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A.2 B.
C. D.
12．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量， 则向量在坐标平面上的投影向量是__________
14．已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.
15．已知双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，若，则=___________.
16． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图

（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；
（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50入中选5人参加一个座谈会,现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率？
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直棱柱 中，已知，点分别的中点.

（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是? 若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知抛物线C的方程是.
（1）求C的焦点坐标和准线方程；
（2）直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，与抛物线C的交点为A，B，求的长度.
19．（12分）已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上
（1）求椭圆C的方程；
（2）点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由
20．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
21．（12分）设或，
（1）若时，p是q的什么条件？
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围
22．（10分）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到点的距离之差为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于、两点，若的面积为，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】解：∵N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，且，，，

故选：D.
2、A
【解析】由条件建立a，b，c的关系，由此可求离心率的值.
【详解】设，则，
∵ ，∴，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ 离心率，
故选：A.

3、C
【解析】依据题意列出关于的不等式，即可求得的取值范围.
【详解】当时，仅当时成立，不符合题意；
当时，若成立，
则，解之得
综上，取值范围是
故选：C
4、A
【解析】确定对应二次方程的解，根据三个二次的关系写出不等式的解集
【详解】，即为，
故选：A
5、C
【解析】通过平移把异面直线平移到同一平面中，所以取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线与所成角为和所成角，通过解三角形即可得解.
【详解】
根据长方体的对称性可得体对角线过中心点，
取，的中点，易知且过中心点，
所以异而直线和所成角为和所成角，
连接，在中，
，，，
所以则异而直线与所成角的余弦值为：
，
故选：C.
6、B
【解析】根据给定条件利用中点坐标公式及空间向量模长的坐标表示计算作答.
【详解】因点，，所以线段的中点坐标为，
.
故选：B
7、C
【解析】直接利用等差数列通项和求和公式计算得到答案.
【详解】，，解得，故.
故选：C.
8、C
【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.
【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，
分别于联立，解得：，，
所以中点坐标为，
因为点满足，
所以，
所以，即，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.
9、C
【解析】建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解
【详解】记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，
故选：C
10、C
【解析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，
当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为；
当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为，
所以所求抛物线的方程为.
故选：C.
11、D
【解析】设，由，得到四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.
【详解】如图所示：

设，则，，，
因为，所以，
则四边形是矩形，
在中，，
即，解得，
在中，，
即，
解得，
故选：D
12、B
【解析】取即可得到第一步应验证不等式.
【详解】由题意得，当时，不等式为
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】空间向量在坐标平面上的投影向量是.
故答案为：
14、
【解析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.
【详解】因为和，故可得中点为，
又，故所求圆的半径为，
则所求圆的标准方程是：.
故答案为：.
15、18或2##2或18
【解析】先由双曲线的方程求出，再利用双曲线的定义列方程求解即可
【详解】由，得，则，
因为双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，
所以，即，
所以或，
因为，
所以或都符合题意，
故答案为：18或2
16、（1）平均时长为，中位数为
（2）在和两组中分别抽取30人和20人，概率
【解析】（1）由频率分布直方图计算平均数，中位数的公式即可求解；
（2）先根据分层抽样求出每一组抽取的人数，再列举抽取总事件个数，从而利用古典概型概率计算公式即可求解
【小问1详解】
解：（1）设被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为，
，
被抽查人员利用“学习强国”的时长中位数满足，解得，
即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为
【小问2详解】
解：组的人数为人，设抽取的人数为，
组的人数为人，设抽取的人数为，
则，解得，，
所以在和两组中分别抽取30人和20人，
再利用分层抽样从抽取的50入中抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将组中被抽取的工作人员标记为，，，将中的标记为，，
则抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种情况，其中在中至少抽取1人有7种，
故所求概率

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】（1）由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.，利用向量法求解异面直线成角即可.
（2）先求出平面DEF的一个法向量，然后利用向量法求解点面距离.
（3）设（），由 可得关于的方程，从而得出答案.
【小问1详解】
由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，，
故 ， ，
从而，
所以异面直线AE与DF所成角的大小为.
小问2详解】
，设平面DEF的法向量为 ，
则，即，
取，得到平面DEF的一个法向量为.
点A到平面DEF的距离为.
【小问3详解】
假设存在满足条件的点M，设（），则 ，
从而 .
即，即，此方程无实数解，
故不存在满足条件的点M.

18、（1）焦点为，准线方程：
（2）
【解析】（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可
【小问1详解】
（1）抛物线的标准方程是，焦点在轴上，开口向右，，
∴，∴焦点为，准线方程：.
【小问2详解】
∵直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，，
∴直线L的方程为，
代入抛物线化简得，
设，则，
所以
故所求的弦长为12
19、（1）；
（2）直线的斜率为定值，且定值为.
【解析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a、b，即可得椭圆标准方程.
（2）由题设得，法一：设为，联立椭圆方程应用韦达定理求M坐标，根据与斜率关系求N的坐标，应用两点式求斜率；法二：设为，，联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于参数m、k的方程，即可判断是否为定值.
【小问1详解】
由题意，则，又，
所以椭圆C方程为，代入有，解得，
所以，故椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题设易知：，
法一：设直线为，
由，消去y，整理得，
因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标，
故M为，用代替k，得N为，
所以，故直线的斜率为定值
法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，，
由，消去y，整理得，
所以，而，
又，代入整理得，
所以，即，
若，则直线过点T，不合题意，
所以．即，故直线的斜率为定值.
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于直线斜率的方M、N程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.
20、（1）（2）
【解析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积
【详解】（1）由已知得，，解得，又，
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为，
由得，①
设、的坐标分别为，（），中点为，
则，，
因为是等腰△的底边，所以
所以的斜率为，解得，此时方程①为
解得，，所以，，所以，
此时，点到直线：距离，
所以△的面积
考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.
【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键
21、（1）充要条件；
（2）.
【解析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可；
（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，解得或，
显然p是q的充要条件；
【小问2详解】
，
当时，该不等式的解集为全体实数集，显然由，但不成立，因此p是q的充分不必要条件，不符合题意；
当时，该不等式的解集为：，显然当时，不一定成立，
因此p不是q的必要不充分条件，
当时，该不等式解集为：，要想p是q的必要不充分条件，
只需，而，所以，
因此a的取值范围为：.
22、（1）；（2）或.
【解析】（1）本题首先可以设动点，然后根据题意得出，通过化简即可得出结果；
（2）本题首先可排除直线斜率不存在时情况，然后设直线方程为，通过联立方程并化简得出，则，，再然后根据得出，最后根据的面积为即可得出结果.
【详解】（1）设动点，
因为动点到直线的距离与到点的距离之差为，
所以，化简可得，
故轨迹方程为.
（2）当直线斜率不存在时，其方程为，
此时，与只有一个交点，不符合题意，
当直线斜率存在时，设其方程为，
联立方程，化简得，，
令、，则，，
因为，
所以
，
因为的面积为，
所以，解得或，
故直线方程为：或.
【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，能否根据题意列出等式是求动点的轨迹方程的关键，考查韦达定理的应用，在计算时要注意斜率为这种情况，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.