福建省南那时华侨中学2026届高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

福建省南那时华侨中学2026届高二数学第一学期期末联考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A、B、C、D、E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）
A. B.
C. D.
2．如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（）

A. B.
C. D.
3．若椭圆与直线交于两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则
A. B.
C. D.2
4．已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
5．由下面的条件一定能得出为锐角三角形的是（）
A. B.
C. D.
6．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（）
A. B.
C. D
7．函数，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
8．在等比数列中，，且，则t＝（ ）
A.-2 B.－1
C.1 D.2
9．点分别为椭圆左右两个焦点，过的直线交椭圆与两点，则的周长为（）
A.32 B.16
C.8 D.4
10．展开式的第项为（）
A. B.
C. D.
11．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）
A. B.
C. D.
12． “”是“圆与轴相切”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量，则使成立的x的值为___________
14．如图茎叶图记录了A、两名营业员五天的销售量，若A的销售量的平均数比的销售量的平均数多1，则A营业员销售量的方差为___________.

15．设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的x的取值范围是_________.
16．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点

（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的体积
18．（12分）求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1），焦点在轴上的双曲线的标准方程；
（2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程
19．（12分）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标
20．（12分）已知抛物线C：上一点与焦点F的距离为
（1）求和p的值；
（2）直线l：与C相交于A，B两点，求直线AM，BM的斜率之积
21．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.
22．（10分）已知定点，动点满足，设点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若点分别是圆和轨迹上的点，求两点间的最大距离.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
2、A
【解析】设点关于原点的对称点为点，连接、，分析可知、、三点共线，设点、，设直线的方程为，分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：

因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，
因为，故、、三点共线，设、，
易知点，，，
由题意可知，，可得，
若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；
设直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，得，
，则，可得，故，
因此，.
故选：A.
3、D
【解析】细查题意，把代入椭圆方程，得，整理得出，设出点的坐标，由根与系数的关系可以推出线段的中点坐标，再由过原点与线段的中点的直线的斜率为，进而可推导出的值.
【详解】联立椭圆方程与直线方程，
可得，
整理得，
设，
则，
从而线段的中点的横坐标为，纵坐标，
因为过原点与线段中点的直线的斜率为，
所以，
所以，
故选D.
【点睛】该题是一道关于直线与椭圆的综合性题目，涉及到的知识点有直线与椭圆相交时对应的解题策略，中点坐标公式，斜率坐标公式，属于简单题目.
4、C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中绝对值最小的项为，选C.
5、D
【解析】对于A，两边平方得，由得，即为钝角；
对于B，由正弦定理求出，进而求出，可得结果；
对于C，根据平方关系将余弦化为正弦，用正弦定理可将角转化为边，进而可得的值，从而作出判断；
对于D，由可得，推出，，，故可知三个内角均为锐角
【详解】解：对于A，由，
两边平方整理得，，
因为，所以，
所以，所以，所以为钝角三角形，故A不正确；
对于B，由，得，
所以，
因为，所以，所以或，
所以或，所以为直角三角形或钝角三角形，故B不正确；
对于C，因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，
所以，故三角形为钝角三角形，C不正确；
对于D，由可得，
因为中最多只有一个钝角，所以，，中最多只有一个为负数，所以，，，所以中三个内角都为锐角，所以为锐角三角形，故D正确；
故选：D
6、C
【解析】对方程进行化简可得双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，进而可得结果.
【详解】已知方程可以变形为，即，
∴
其表示双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，
又由，可得，
故选：C.
7、A
【解析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.
【详解】对函数进行求导：，因为，，所以，
因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，
又因为，所以的解集为.
故选：A
8、A
【解析】先求出，利用等比中项求出t.
【详解】在等比数列中，，且，
所以
所以，即，解得：.
当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.
故选：A.
9、B
【解析】由题意结合椭圆的定义可得，而的周长等于，从而可得答案
【详解】解：由得，
由题意得，
所以的周长等于，
故选：B
10、B
【解析】由展开式的通项公式求解即可
【详解】因为，
所以展开式的第项为，
故选：B
11、B
【解析】结合已知条件，利用对称的概念即可求解.
【详解】不妨设点关于轴对称的点的坐标为，
则线段垂直于轴且的中点在轴，
从而点关于轴对称的点的坐标为.
故选：B.
12、A
【解析】根据充分不必要条件的定义和圆心到轴的距离求出可得答案.
【详解】时，圆的圆心坐标为，半径为2，此时圆与轴相切；
当圆与轴相切时，因为圆的半径为2，
所以圆心到轴的距离为，所以，
“”是“圆与轴相切”的充分不必要条件
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】利用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数x的值.
【详解】由题设，，可得.
故答案为：.
14、44
【解析】先根据题意求出x的值，进而利用方差公式求出A营业员销售量的方差.
【详解】由A的平均数比的平均数多1知，A的总量比的总量多5，所以，A的平均数为17，
方差为.
故答案为：44
15、
【解析】构造函数利用导数研究单调性，即可得到答案；
【详解】，令，
，
单调递减，且，
，
x的取值范围是，
故答案为：
16、2
【解析】画出简单示意图，令，根据抛物线定义可得，应用数形结合及B在C上，求目标式的值.
【详解】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，

由抛物线定义知：，又且，
所以，故，
又，故.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：应用抛物线的定义将转化为，再由三角函数的定义及点在抛物线上求值.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】【小问1详解】
因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，
所以,
又,
所以平面
【小问2详解】
因为△ABC和△PBC为正三角形，且，
所以,
又，
所以正三角形的面积为，
所以.
18、（1）；（2）或
【解析】（1）设方程为（，），即得解；
（2）由题得，即得解.
【详解】（1）解：由题意，设方程为（，），
，，
，，
所以双曲线的标准方程是
（2）焦点到准线的距离是2，
，
∴当焦点在轴上时抛物线的标准方程为或
19、（1）
（2），
【解析】（1）用待定系数法设出圆心，根据圆过点和弦长列出方程求解即可；
（2）当三点共线时有最小值，求出直线MN的方程，令y=0即可.
【小问1详解】
由题意可设圆心，
因为y轴被圆M截得的弦长为4，
所以，
又，
则，
化简得，解得，
则圆心，半径，
所以圆M的标准方程为
【小问2详解】
点关于x轴的对称点为，
则，
当且仅当M，P，三点共线时等号成立，
因为，则直线的方程为，即，
令，得，则
20、（1）
（2）
【解析】（1）结合抛物线的定义以及点坐标求得以及.
（2）求得的坐标由此求得直线AM，BM的斜率之积.
【小问1详解】
依题意抛物线C：上一点与焦点F的距离为，
根据抛物线的定义可知，
将点坐标代入抛物线方程得.
【小问2详解】
由（1）得抛物线方程为，，不妨设A在B下方
，
所以.
21、（1）；
（2）2.
【解析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；
(2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长得k和t关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.
【小问1详解】
由题知，解得，
∴椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
当轴时，位于轴上，且，
由可得，此时；
当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，
由，得.
得，，
从而
已知，可得.
∵
.
设到直线的距离为，则，
结合化简得

此时的面积最大，最大值为2.
当且仅当即时取等号，
综上，的面积的最大值为2.
22、（1）
（2）
【解析】（1）设动点,根据条件列出方程，化简求解即可；
（2）设，求出圆心到轨迹上点的距离，配方求最值即可得解.
【小问1详解】
设动点，
则，，，
又，
∴，
化简得，即，
∴动点的轨迹E的方程为.
【小问2详解】
设，
圆心到轨迹E上的点的距离

∴当时，，
∴.