2026届广东省番禺区高二上数学期末达标测试试题含解析.doc

2026届广东省番禺区高二上数学期末达标测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
2．圆与圆公切线的条数为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
3．已知点，在双曲线上，线段的中点，则（）
A. B.
C. D.
4．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=
A. B.
C. D.
5．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（）

A.10cm B.20cm
C.25cm D.30cm
6．椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知抛物线的焦点为F，过点F作倾斜角为的直线l与抛物线交于两点，则POQ(O为坐标原点)的面积S等于（）
A. B.
C. D.
8．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是

A.这天的的中位数是
B.天中超过天空气质量为“优良”
C.从3月4日到9日，空气质量越来越好
D.这天的的平均值为
9．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=
A. B.
C. D.
10．算盘是中国传统计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）

A. B.
C. D.
11．如图，已知正方体，点P是棱中点，设直线为a，直线为b．对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有两条直线l与a、b都成角．以下判断正确的是（）

A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题
12．在空间直角坐标系中，若，，则点B的坐标为（）
A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）
C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示双曲线.若为真，则实数的取值范围为______
14．双曲线的右焦点到C的渐近线的距离为，则C渐近线方程为______
15．半径为的球的体积为_________
16．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
18．（12分）已知公差不为0的等差数列满足：且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，求证是等差数列
19．（12分）已知数列的首项，， ，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求数列的前项和
20．（12分）某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，……分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图

（1）求直方图中的a值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数（单位：人）；
（2）估计该市居民月均用水量的众数和中位数
21．（12分）已知数列满足，
（1）证明是等比数列，
（2）求数列的前项和
22．（10分）已知命题p：集合为空集，命题q：不等式恒成立
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
2、D
【解析】分别求出圆和圆的圆心和半径，判断出两圆的位置关系可得到公切线的条数.
【详解】根据题意，圆即，
其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；
两圆的圆心距，所以两圆相离，其公切线条数有4条；
故选：D.
3、D
【解析】先根据中点弦定理求出直线的斜率，然后求出直线的方程，联立后利用弦长公式求解的长.
【详解】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则
故选：D
4、C
【解析】点在一次函数上的图象上，
，
数列为等差数列，其中首项为，公差为，
，
数列的前项和，
，

故选C
考点：1、等差数列；2、数列求和
5、B
【解析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.
【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得故.
故选：B
6、B
【解析】求得，可得出，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，可得，由可求得的取值范围.
【详解】设，设双曲线的实轴长为，
因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，
则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，
所以，，则，
设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，
因，则，故.
故选：B.
7、A
【解析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意设直线的方程，与抛物线的方程，联立求出两根之和及两根之积，进而求出，的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式求出面积
【详解】抛物线的焦点为，，
由题意可得直线的方程为，设，，，，
联立，整理可得：，
则，，
所以，
所以，
故选：A
8、C
【解析】这12天的AQI指数值的中位数是 ，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；
从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.
故选 C
9、D
【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D
10、B
【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是质数的有：17，7153，故所求事件的概率为
故选：B
11、A
【解析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；
②一组邻边与对角面夹角相等，在平面内绕P转动，可以得到二条直线与a、b的夹角都等于.
【详解】如下图所示，在侧面正方形和再延伸一个正方形和，则平面和在同一个平面内，所以过点P，有且只有一条直线l，即与a、b相交，故①为真命题；
取中点N，连PN，由于a、b为异面直线，a、b的夹角等于与b的夹角.由于平面，平面，，所以平面，所以与与b的夹角都为 .又因为平面，所以与与b的夹角都为，而，所以过点P，在平面内存在一条直线，使得与与b的夹角都为，同理可得，过点P，在平面内存在一条直线，使得与与的夹角都为；故②为真命题.
故选：A

12、C
【解析】利用点的坐标表示向量坐标，即可求解.
【详解】设，，
，
所以，，，解得：，，，
即.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】既然为真，那么就是为真，即p是假，并且q是真，根据椭圆和双曲线的定义即可解出。
【详解】∵为真，∴p为假，q为真；
考虑p为真的情况：解得……①；
由于p为假，∴或；
由于q为真，∴，即……②；
由①和②得：；
故答案为：.
14、
【解析】根据给定条件求出双曲线渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答
详解】双曲线的渐近线为：，即，
依题意，，即，解得，
所以C渐近线方程为.
故答案为：
15、
【解析】根据球的体积公式求解
【详解】根据球的体积公式
【点睛】球的体积公式
16、-1
【解析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.
【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，
由两式相减得：，
而，于是得，即，
所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）详见解析
【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；
（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.
【详解】（1），，，
，又，
在处的切线方程为.
（2），
令，解得：，.
①当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
②当时，在上恒成立，
的单调递增区间为，无单调递减区间；
③当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.
18、（1）；（2证明见解析.
【解析】(1)根据等比中项的应用可得，结合等差数列的定义和求出公差，进而得出通项公式；
(2)根据等差数列前n项求和公式可得，结合等差数列定义即可证明.
【小问1详解】
设等差数列的公差为()，由成等比数列，
得，又，所以，
解得，所以；
【小问2详解】
由(1)可得，所以，
有，故，
又，所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用等比数列的定义即可证明.
（2）利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
当时，，
所以：数列是公比为3的等比数列；
【小问2详解】
由（1）知，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，
所以：，所以：，
，
所以，①
所以，②
①②可得

.
20、（1）a0.3，72000人；
（2）众数2.25；中位数2.04.
【解析】（1）根据所有小长方形面积和为1即可求得参数，结合题意求得用水量不少于3吨对应的频率，再求频数即可；
（2）根据频率分布直方图直接写出众数，根据中位数的求法，结合频率的计算，即可容易求得结果.
【小问1详解】
由频率分布直方图，可知：
，解得；
月均用水量不少于3吨的人数为：（人）
【小问2详解】
由图可估计众数为2.25；
设中位数为x吨，因为前5组的频率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，
而前4组频率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，
由，可得，
故居民月均用水量的中位数为2.04吨.
21、（1）见解析；（2）
【解析】（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；
（2）由（1）求出，利用分组求和法求
【详解】（1）由得，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，
（2）由（1）知的通项公式为；则
所以
【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据判别式小于0可得；
（2）根据复合命题的真假可知，p和q有且只有一个真命题，然后根据相应范围通过集合运算可得.
【小问1详解】
因为集合为空集，
所以无实数根，即，解得，
所以p为真命题时，实数a取值范围为.
【小问2详解】
由解得：，即命题q为真时，实数a的取值范围为，
易知p为假时，a的取值范围为，q为假时，a的取值范围为.
因为为真命题，为假命题，则p和q有且只有一个真命题，
当p为假q为真时，实数a的取值范围为；
当p为真q为假时，实数a的取值范围为.
综上，实数a的取值范围为