广西桂林市第一中学2025-2026学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

广西桂林市第一中学2025-2026学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示
学生
甲
乙
丙
丁
估算结果（）

其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式：，，）

A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
3．若，则（）
A.1 B.2
C.4 D.8
4．若向量，，则（）
A. B.
C. D.
5．已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A. B.2
C.或2 D.或
6．已知圆的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆：，则圆，的公共弦长为
A. B.
C. D.2
7．设等差数列的前项和为，若，则的值为
A.28 B.39
C.56 D.117
8．若函数，则单调增区间为（）
A. B.
C. D.
9．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（）
A. B.
C. D.
10．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
11．平行六面体中，若，则（ ）
A. B.1
C. D.
12．设变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.0 B.
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，E，F分别是三棱锥的棱AD，BC的中点，，，，则异面直线AB与EF所成的角为______.

14．已知椭圆 ()中，成等比数列，则椭圆的离心率为 _______.
15．已知某农场某植物高度，且，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间上的棵数为______.
参考数据：若，则，，.
16．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足且.
（1）证明数列是等比数列；
（2）设数列满足，，求数列的通项公式.
18．（12分）已知圆C：
（1）若点，求过点的圆的切线方程；
（2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程
19．（12分）设函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极小值点和极大值点.
20．（12分）已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若有两个零点，求实数a取值范围.
21．（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1.
（1）求椭圆的短轴长；
（2）过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围.
22．（10分）椭圆的一个顶点为，离心率
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点．若满足，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据双曲线的定义求得，利用可得离心率范围
【详解】因为，又，所以，，
又，即，，所以离心率
故选：C
2、D
【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.
【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，
再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,
,
,
所以花瓶的容积，
故最接近的是丁同学的估算，
故选：D
3、D
【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以.
故选：D.
4、D
【解析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断
【详解】由已知，，
，与不垂直
，
若，则，，但是，，因此与不共线
故选：D
5、C
【解析】根据成等比数列求得，再根据离心率计算公式即可求得结果.
【详解】因为实数成等比数列，故可得，解得或；
当时，表示焦点在轴上的椭圆，此时；
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时.
故选：C.
6、A
【解析】根据题意设圆方程为:,代点即可求出,进而求出方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长.
【详解】设圆的圆心为,则其标准方程为:,
将点代入方程,解得,
故方程为:,
两圆,方程作差得其公共弦所在直线方程为:,
圆心到该直线的距离为,
因此公共弦长为,
故选:A.
【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.
7、B
【解析】由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解.
【详解】因为等差数列中，，
则.
故选：B.
8、C
【解析】求出导函数，令解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数，所以，
令，得，所以的单调增区间为，
故选：C.
9、A
【解析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项.
【详解】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则
，即，取，，
又平面平面，则平面与平面间的距离为，
故选：A.
10、C
【解析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C
11、D
【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.
【详解】在平行六面体中，
有，故由题意可知
即，所以，
故选：D.

12、A
【解析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，即可求出目标函数的最大值.
【详解】解：满足约束条件的可行域如下图所示：

由，可得，
因为目标函数，即，表示斜率为，截距为的直线，
由图可知，当直线经过时截距取得最小值，即取得最大值，
所以的最大值为，
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】取的中点，连结，由分别为的中点，可得(或其补角)为异面直线AB与EF所成的角，在求解即可.
【详解】取的中点，连结
由分别为的中点，则
所以(或其补角)为异面直线AB与EF所成的角
由 分别是的中点,则，
又在中, ，则
所以, 又，所以在直角中，
故答案为：

14、
【解析】根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，
然后结合的自身范围解方程即可求出
【详解】∵成等比数列，∴，
∴，∴，
∴，又，∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题
15、1359
【解析】由已知求得，则，结合已知求得，乘以10000得答案
【详解】解：由，得，
又，，
则
，
估计该农场这种植物高度在区间，上的棵数为
故答案为：1359
16、
【解析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求，进而可得抛物线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，
由题意可得，解得，故抛物线的标准方程为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）根据题意可得，根据等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得数列的通项公式.
【详解】（1）因为，所以，即，
所以是首项为1公比为3的等比数列
（2）由（1）可知，所以
因为，所以

……
，，
各式相加得：，
又，所以，
又当n=1时，满足上式，所以
18、（1）或
（2）
【解析】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程；
（2）根据圆心与弦中点的连线垂直线，可求出直线的斜率，进而求出结果.
【小问1详解】
解：由题意知圆心的坐标为，半径，
当过点的直线的斜率不存在时，方程为
由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切
当过点的直线的斜率存在时，设方程为，
即．由题意知，
解得，∴方程为
故过点的圆的切线方程为或
【小问2详解】
解：∵圆心，，即，
又，
∴，则.
19、（1）；
（2）极大值点，极小值点.
【解析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；
（2）利用导数研究f(x)的单调性，判断函数的极值点即可
【小问1详解】
函数，函数的导数为
，，
在处的切线方程：，即
【小问2详解】
令，，解得，
当时，可得，即的单调递减区间，
或，可得，∴函数单调递增区间，，
的极大值点，极小值点
20、（1）极小值为，无极大值
（2）
【解析】(1)利用导数求出，分别令、，进而得到函数的单调区间，即可求出极值；
(2)利用导数讨论、0时函数的单调性，进而得出函数的最小值小于0，解不等式即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
时，.令，解得，
∵在上，，在上，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
，
当时，，∴在上单调递增，此时不可能有2个零点.
当0时.令，得，
∵在上，，在上，），
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为.
∵有两个零点，∴，即，∴.
经验证，若，则，且，
又，∴有两个零点.
综上，a的取值范围是.
21、（1）2（2）
【解析】（1）根据题意表示出的面积，即可求得结果；
（2）分类讨论直线斜率情况，然后根据是等边三角形，得到，联立直线和椭圆方程，用点的坐标表示上述关系式，化简即可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，所以，
，
所以，则椭圆的短轴长为2.
【小问2详解】
若为等边三角形，应有，即.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，且，
此时若为等边三角形，则点应为长轴顶点，且，即.
当直线的斜率为0时，直线的方程为，且，
此时若为等边二角形，则点应为短轴顶点，
此时,不为等边三角形.
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线的方程为.
由得,
同理.
因为，所以，
解得.
因为，所以，则，即.
综上，的取值范围是.
22、（1）；（2）
【解析】（1）首先由椭圆的一个顶点可以求出的值，再根据离心率可得到、的关系，联立即可求得的值，进而得到椭圆的方程；
（2）先联立直线与椭圆，结合韦达定理得到线段的中点的坐标，再根据，即可求得的值，进而求得直线的方程
【详解】（1）由一个顶点为，离心率，
可得，，，解得，，
即有椭圆方程为
（2）由知点在线段的垂直平分线上，
由，消去得，
由，得方程的，即方程有两个不相等的实数根
设、，线段的中点，
则，所以，
所以，即，
因为，所以直线的斜率为，
由，得，所以，解得：，
即有直线的方程为