2026届河南省新乡市辉县市第一高级中学高二数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2026届河南省新乡市辉县市第一高级中学高二数学第一学期期末检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A B.
C. D.
2．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形，则的表达式为（）

A. B.
C. D.
3．已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（）
A. B.
C. D.
5．下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A.若a＞b，则ac2＞bc2
B.若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C.若a＞|b|，则a2＞b2
D.若a＞b，则
6．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（）

A. B.
C. D.
7．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
8．已知点到直线：的距离为1，则等于（）
A. B.
C. D.
9．已知一组数据为：2，4，6，8，这4个数的方差为（）
A.4 B.5
C.6 D.7
10．数列满足，且，是函数的极值点，则的值是（）
A.2 B.3
C.4 D.5
11．已知平面的一个法向量为=（2，－2，4），=（－1，1，－2），则AB所在直线l与平面的位置关系为（　　）
A.l⊥ B.
C.l与相交但不垂直 D.l∥
12．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，直线与的交点为，以为圆心作圆，圆上的点到轴的最小距离为
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程
14．曲线的一条切线的斜率为，该切线的方程为________.
15．几位大学生响应国家创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”活动.这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合…，…，例如：，，若将集合的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为________.
16．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，且点的横坐标为，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则的面积为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点

（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积
18．（12分）茶树根据其茶叶产量可分为优质茶树和非优质茶树，某茶叶种植研究小组选取了甲，乙两块试验田来检验某种茶树在不同的环境条件下的生长情况．研究人员将100株该种茶树幼苗在甲，乙两块试验田中进行种植，成熟后统计每株茶树的茶叶产量，将所得数据整理如下表所示：

优质茶树
非优质茶树
甲试验田
a
25
乙试验田
10
b
已知甲试验田优质茶树的比例为50%
（1）求表中a，b的值；
（2）根据表中数据判断，是否有99%的把握认为甲，乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响？
附：，其中．

0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635

19．（12分）设椭圆：的左顶点为，右顶点为.已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线斜率大于，求直线的斜率的取值范围.
20．（12分）已知数列{an}满足*
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn
21．（12分）有时候一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害.下表给出了不同品牌的一些食品所含热量的百分比记为和一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数记为：
食品品牌
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
所含热量的百分比
25
34
20
19
26
20
19
24
19
14
百分制口味评价分数
88
89
80
78
75
71
65
62
60
52
参考数据：，，，
参考公式：，
（1）已知这些品牌食品的所含热量的百分比与美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数具有相关关系.试求出回归方程（最后结果精确到）；
（2）某人只能接受食品所含热量百分比为及以下的食品.现在他想从这些食品中随机选取两种购买，求他所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价分数为分以上的概率.
22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.
问题：等差数列的公差为，满足，________?
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和得到最小值时的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案
【详解】由题意，设椭圆的方程为，
由椭圆的离心率为，面积为，
∴，解得，
∴椭圆的方程为，
故选：C.
2、D
【解析】先分别观察给出正方体的个数为：1，，，，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解
【详解】解：根据前面四个发现规律：，，，，，
累加得：，

，
故选：
【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题
3、A
【解析】由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.
【详解】由抛物线的方程为，则其准线方程为：
故选：A
4、A
【解析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由题意可知，对任意的恒成立，则，
当时，在上单调递减，在上单调递减，
所以，，故.
故选：A.
5、C
【解析】利用不等式的性质结合特殊值法依次判断即可
【详解】当c＝0时，A不成立；
2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；
a＝2，b＝1时，，D不成立；
由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确
故选：C
6、A
【解析】分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程.
【详解】如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.

设，,
，由抛物线定义得
故
在直角三角形中，，
，，
，
，
，
∥，，
，即，
，
所以抛物线的方程为.
故选：A
7、B
【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假
【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假
8、D
【解析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数的值.
【详解】因为点到直线：的距离为1，
故可得，整理得，解得.
故选：.
9、B
【解析】根据数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由平均数的计算公式，可得，
所以这4个数的方差为
故选：B.
10、C
【解析】利用导数即可求出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算性质求解即可
【详解】由，得，
因为，是函数的极值点，
所以，是方程两个实根，
所以，
因为数列满足，
所以，
所以数列为等差数列，
所以，
所以，
故选：C
11、A
【解析】由向量与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系
【详解】因为，所以，所以
故选：A
12、C
【解析】点在一次函数上的图象上，
，
数列为等差数列，其中首项为，公差为，
，
数列的前项和，
，

故选C
考点：1、等差数列；2、数列求和

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（Ⅰ）；（Ⅱ）或
【解析】（Ⅰ）求出点的坐标，设圆的半径为，圆上的点到轴的最小距离为1求得的值，由此可得出圆的标准方程
（Ⅱ）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，当切线的斜率不存在时，可得切线方程为，验证即可；当切线的斜率存在时，可设所求切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径可求得的值，综合可得出所求切线的方程.
【详解】（Ⅰ）联立方程组，解得，即点
设圆的半径为，由于圆上的点到轴的最小距离为，则，所以，
故圆的标准方程为；
（Ⅱ）若切线的斜率不存在，则所求切线的方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意；
若切线的斜率存在，可设切线的方程为，即，
圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，整理得，
解得或
故所求切线方程为或
【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了过圆外一点的圆的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
14、
【解析】使用导数运算公式求得切点处的导数值，并根据导数的几何意义等于切线斜率求得切点的横坐标，进而得到切点坐标，然后利用点斜式求出切线方程即可.
【详解】的导数为，
设切点为，可得，
解得，即有切点，
则切线的方程为，
即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的加法运算，导数的几何意义，和求切线方程，难度不大，关键是正确的使用导数运算公式求得切点处的导数值，
15、376
【解析】由题设知集合的规律为最小的元素为且元素构成公差1的等差数列，共有个元素，即可写出的所有元素，应用等差数列前n项和公式求激活码.
【详解】由题设，或，即，
或，即，
所以或，
则，故各个元素之和为.
故答案为：.
16、##
【解析】不妨设点为第一象限内的点，求出点的坐标，可求得直线、的方程，求出点、的坐标，可求得以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】不妨设点为第一象限内的点，设点，其中，则，可得，
即点，抛物线的焦点为，，
所以，直线的方程为，
联立，解得或，即点，
所以，，
直线的方程为，抛物线的准线方程为，联立，可得点，
点到直线的距离为，
因此，.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直的判定即可证结论.
（2）若，构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及其对应的余弦值求R，最后由圆锥的体积公式求体积.
【小问1详解】
由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，
∴底面圆，则，且，而，
∴平面.
【小问2详解】
由题设，若，可构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，
又，可得，
∴，，，有，，
若是面的一个法向量，则，令，则，
又面的一个法向量为，

∴，可得，
∴该圆锥的体积
18、（1）；
（2）有99%的把握认为甲乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响
【解析】（1）根据即可求出，从而可得到；
（2）根据独立性检验的基本思想求出的观测值，与6.635比较，即可判断
【小问1详解】
甲试验田优质茶树比例为50%，即，解得

【小问2详解】
，
因为，故有99%的把握认为甲、乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据直线被圆截得的弦长为，由解得，再由离心率结合求解。
（2）设，则，得到直线：；直线：，联立求得，再根据线斜率大于，求得，然后由求解.
【详解】（1）以线段为直径的圆的圆心为：，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为，
解得：，又椭圆离心率，
∴，，
椭圆的标准方程为：.
（2）设，其中，，则，
∴，，
则直线为：；直线为：，
由得：，
∴，
∴，
∴，
令，，则，
∴，
∵∴，
∴，
即.
【点睛】本题主要考查椭圆方程和几何性质以及直线与圆，椭圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据递推关系式可得，再由等差数列的定义以及通项公式即可求解.
（2）利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
（1），即，
所以数列为等差数列，公差为1，首项为1，
所以，即.
【小问2详解】
令，
所以，
所以
21、（1）
（2）
【解析】（1）首先求出、、，即可求出，从而求出回归直线方程；
（2）由表可知某人只能接受的食品共有种，评价为分以上的有种可记为，，另外种记为，，，，用列举法列出所有的可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【小问1详解】
解：设所求的回归方程为，
由，
，，
，
所求的回归方程为：.
【小问2详解】
解：由表可知某人只能接受的食品共有种，其中美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价为分以上的有种可记为，，另外种记为，，，.
任选两种分别为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件.
记“所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此食品口味的评价分数为分以上”为事件，则事件包含，，，，，，，，共个基本事件，
故事件发生的概率为.
22、（1）选择条件见解析，
（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得到，选①，联立求解；选②，联立求解；选③，联立求解；
（2）由（1）知，令求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，
得，
选①，
得，
故，
∴.
选②，
得，得，
故，
∴.
选③，
，得，
故，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，，，
∴数列是递增等差数列.
由，得，
∴时，，
时，，
∴时，得到最小值.