2026届四川省仁寿县二中、华兴中学数学高二上期末质量检测试题含解析.doc

2026届四川省仁寿县二中、华兴中学数学高二上期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列的前项和为，则关于的方程的解的个数为（）
A.0 B.1
C.无数个 D.0或无数个
2．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是

A.
B.平面平面
C.的最大值为
D.的最小值为
3．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（）
A. B.
C. D.
4．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）
A.7 B.23
C.5或25 D.7或23
5．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）
A. B.
C. D.
6．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．在等差数列中，若，则（）
A.5 B.6
C.7 D.8
8．如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，是它的一条侧棱，是它的上底面上其余的八个点，则集合的元素个数（）

A.1 B.2
C.4 D.8
9．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）

A. B.
C. D.
10．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）

A. B.
C. D.
11．双曲线：的实轴长为（）
A. B.
C.4 D.2
12．下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.
14．已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____
15．双曲线的左焦点到直线的距离为________.
16．设集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，求数列的前项和___
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知__________.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设，求的值；
（3）求的展开式中的系数.
18．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
19．（12分）等差数列中，首项，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
20．（12分）已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且D的离心率为.
（1）求C与D的方程；
（2）若，直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.
②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21．（12分）设函数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.
22．（10分）已知各项均为正数的等比数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用等比数列的求和公式讨论公比的取值即得.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，，因为，所以无解，即方程的解的个数为0，
当时，，
所以时，方程有无数个偶数解，当时，方程无解，
综上，关于的方程的解的个数为0或无数个.
故选：D.
2、C
【解析】∵，，∴面，面，∴，A正确；∵平面即为平面，平面即为平面，且平面，
∴平面平面，∴平面平面，∴B正确；
当 时，为钝角，∴C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，
即，∴D正确，故选C

考点：立体几何中的动态问题
【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：
求空间角、距离，归到三角形中求解；2．对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离
3、D
【解析】根据求解即可.
【详解】因为等比数列，，
所以.
故选：D
4、D
【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，
根据双曲线的定义知，，
而，所以或
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
5、D
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.
【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.
故选：D
6、D
【解析】由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.
【详解】由椭圆的对称性知：，而，
又，即四边形为矩形，
所以，则且M在第一象限，整理得，
所以，又即，
综上，，整理得，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性及矩形性质可得，由已知条件得到，进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.
7、B
【解析】由得出.
【详解】由可得，
故选：B
8、A
【解析】用空间直角坐标系看正四棱柱，根据向量数量积进行计算即可.
【详解】建立空间直角坐标系，为原点，正四棱柱的三个边的方向分别为轴、轴和看轴，
如右图示
，，设，
则
所以集合，元素个数为1.
故选：A.
9、C
【解析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；
【详解】
故选：C
10、B
【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.
【详解】，所以实数组
故选：B
11、A
【解析】根据双曲线的几何意义即可得到结果.
【详解】因为双曲线的实轴长为2a，而双曲线中，，所以其实轴长为
故选：A
12、A
【解析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断
【详解】解：①，故错误；②，故正确；
③，故错误；④，故错误.
所以求导运算正确的个数为1.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据数列的通项公式可得答案.
【详解】因为，所以数列的前5项为.
故答案为：
14、
【解析】利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论
【详解】解：由题意可知：，设点，P到直线的距离为d，则，
所以，
当且仅当x时，的最小值为，此时，
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题
15、
【解析】根据双曲线方程求得左焦点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】因为双曲线的方程为，设其左焦点的坐标为，
故可得，解得，故左焦点的坐标为，
则其到直线的距离.
故答案为：.
16、
【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，可得，由不在集合中，在集合中，也在集合中，推得不在数列的前50项内，则数列的前50项中包括的前48项和数列中的3和27，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，集合构成数列是首项为1，公差为4的等差数列，
集合构成数列是首项为1，公比为3的等比数列，
可得，
又由不在集合中，在集合中，也在集合中，
因为，解得，此时，所以不在数列的前50项内，
则数列的前50项的和为
.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析
（2）0（3）560
【解析】（1）选择①，由，得，选择②，由，得；
（2）利用赋值法可求解；
（3）分两个部分求解后再求和即可.
【小问1详解】
选择①，因为，解得，
所以展开式中二项式系数最大的项为
选择②，因为，解得，
所以展开式中二项式系数最大的项为
【小问2详解】
令则，
令，则，
所以，
【小问3详解】
因为
所以的展开式中含的项为：

所以展开式中的系数为560.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；
（2）由的面积，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，所以.
由正弦定理得，可得，
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
解：由的面积，所以.
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出，进而得出数列的通项公式；
（2）根据裂项相消求和法得出前项和为和.
【小问1详解】
因为成等比数列，所以
即，解得，所以；
【小问2详解】
因为，
，
，

20、（1）C：；D：；（2）①且；
②见解析.
【解析】（1）根据D的离心率为，求出从而求出双曲线的焦点，再由椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，即可求出，即可求出C与D的方程；
（2）①根据题意容易得出，然后联立方程，消元，利用即可求出m的取值范围；
②设，由①得：，计算出，判断其是否为定值即可.
【详解】解：（1）因为D的离心率为，即，
解得：，
所以D的方程为：；焦点坐标为，
又因椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，
所以，所以，
所以C的方程为：；

（2）①如图：

因为直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，
所以，
联立，消化简得：，
所以，解得，
所以且；
②设，
由①得：，
，
所以，
故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.
【点睛】本题考查了求椭圆与双曲线的方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆中跟定直有关的问题，难度较大.
21、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可；
（2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
,
,
①当时，恒成立，
在上单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递减，
③当吋，，
在单调递减，单调递增.
综上所述，当吋，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
当时，在单调递减，单调递增.
【小问2详解】
由题意可知：

在单调递减，单调递增
由（1）可知：
①当时，在单调递增，则恒成立
②当时，在单调递减，
则应（舍）
③当时，，
则应有
令，则，且
在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解
综上，.
【点睛】关键点睛：运用构造函数法，结合存在性、任意性的定义进行求解是解题的关键.
22、（1）
（2）9
【解析】（1）根据题意列出关于等比数列首项、公比的方程组即可解决；
（2）利用等比数列的前项和的公式，解方程即可解决.
【小问1详解】
设各项均为正数的等比数列首项为，公比为
则有，解之得
则等比数列的通项公式.
【小问2详解】
由，可得