2025年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上数学期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点坐标是，则抛物线的标准方程为
A. B.
C. D.
2．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
3．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．已知等差数列满足，则等于（ ）
A. B.
C. D.
6．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
7．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）

A. B.
C. D.
8．在等比数列中,，,则等于
A. B.
C. D.或
9．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（ ）
A.130 B132
C.140 D.144
10．函数在的最大值是（）
A. B.
C. D.
11．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重

下列关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）
A.第一产业的生产总值与第三产业中“其他服务业”的生产总值基本持平
B.第一产业的生产总值超过第三产业中“金融业”的生产总值
C.若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为22500亿元
D.若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元
12．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______
14．设，则_________
15．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________
16．双曲线的离心率为，则它的一个焦点到一条渐近线的距离为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，五边形为东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在赛道设计时需预留出，两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道．现已知，，千米，千米

（1）求服务通道的长
（2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大，并求最大值
18．（12分）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为
（1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；
（2）若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积
19．（12分）已知命题
（1）若“”为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为真命题，求实数的取值范围.
20．（12分）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，
（1）求，，，
（2）你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？
21．（12分）已知集合，.
（1）当a=3时，求.
（2）若“”是 “x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
22．（10分）已知椭圆：，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为，且
（1）求椭圆方程：
（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0（其中为坐标原点）
①求证：直线经过定点，并求出定点坐标：
②求面积的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据抛物线的焦点坐标得到2p=4,进而得到方程.
【详解】抛物线的焦点坐标是,即p=2,2p=4,故得到方程为.
故答案为D.
【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的求法，题目较为简单.
2、A
【解析】根据题意，为四边形的面积的2倍，即，然后利用切线长定理，将问题转化为圆心到直线的距离求解.
【详解】圆：的圆心为，半径，
设四边形的面积为，
由题设及圆的切线性质得，，
∵，
∴，
圆心到直线的距离为，
∴的最小值为，
则的最小值为，
故选：A
3、B
【解析】利用空间向量运算求得正确答案.
【详解】
.

故选：B
4、B
【解析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果
【详解】∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为
故选：B
5、A
【解析】利用等差中项求出的值，进而可求得的值.
【详解】因为得，因此，.
故选：A.
6、C
【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
7、B
【解析】求出两圆相交公共部分两个弓形面积，结合两圆面积可得概率
【详解】如图，是两圆心，是两圆交点坐标，四边形边长均为，又，所以，所以，四边形是正方形，
，
弓形面积为，两个弓形面积为，
两圆涉及部分面积为
所以所求概率为
故选：B

8、D
【解析】∵为等比数列，∴，又
∴为的两个不等实根，
∴
∴或
∴
故选D
9、A
【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,
【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，
所以 ，
故，
故选:A.
10、C
【解析】利用函数单调性求解.
【详解】解：因为函数是单调递增函数，
所以函数也是单调递增函数，
所以.
故选：C
11、D
【解析】根据扇形图及柱形图中的各产业与各行业所占比重，得到第三产业中“其他服务业”及“金融业”的生产总值占总生产总值的比重，进而比较出AB选项，利用“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值，求出“房地产”生产总值，判断出C选项，利用第三产业中“金融业”的生产总值与第二产业的生产总值比值，求出第二产业生产总值，判断D选项.
【详解】A选项，第三产业中“其他服务业”的生产总值占总生产总值的，因为，所以第三产业中“其他服务业”的生产总值明显高于第一产业的生产总值，A错误；
B选项，第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的，因为，故第一产业的生产总值少于第三产业中“金融业”的生产总值，B错误；
“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值为，若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为亿元，故C错误；
第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的，与第二产业的生产总值比值为，若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元，D正确.
故选：D
12、B
【解析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.
【详解】.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.##(0,1.5) ②.
【解析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.
【详解】由，可知边上的高所在的直线为，
又，因此边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线为：，即，
所以，所以的垂心坐标为，
由重心坐标公式可得的重心坐标为，
所以的欧拉线方程为：，化简得.
故答案为：；
14、
【解析】求出函数的导数，再令，即可得出答案.
【详解】解：由，得，
所以.
故答案为：.
15、
【解析】由，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.
【详解】由，可得，即圆心为，
又圆过原点，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为
故答案为：
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.
16、
【解析】根据双曲线离心率为，可得的值，进而可得双曲线焦点到一条渐近线的距离.
【详解】由双曲线离心率为，得，即，
故双曲线方程为，
焦点坐标为，渐近线方程为：，
故焦点到渐近线的距离为，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）服务通道的长为千米
（2）时，折线赛道的长度最大，最大值为千米
【解析】（1）先在中利用正弦定理得到长度，再在中，利用余弦定理得到即可；
（2）在中利用余弦定理得到，再根据基本等式求解最值即可.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得：
，
在中，由余弦定理，
得，
即
解得或（负值舍去）
所以服务通道的长为千米
【小问2详解】
在中，由余弦定理得：，
即，所以
因为，所以，
所以，即（当且仅当时取等号）
即当时，折线赛道的长度最大，最大值为千米
18、（1）；
（2）
【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解；
（2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可
【小问1详解】
由题意，双曲线渐近线方程为：，
所以，
所以双曲线E的标准方程为：
故双曲线
故双曲线的右焦点为，
所以，，
所以
【小问2详解】
由题意联立，
得，
又
所以
因为直线过抛物线的焦点，所以
O到直线的距离，

19、（1）;（2）.
【解析】（1）先分别求出命题为真命题时的取值范围，再由已知“”为真命题进行分类讨论即可求解；（2）由（1）可知，当同时为真时，即可求出的范围.
试题解析：
若为真，则，所以，则
若为真，则，即.
（1）若“”为真，则或，则.
（2）若“”为真，则且，则.
20、（1）；；；；（2）选乙参加比赛，理由见解析.
【解析】（1）利用平均数和方程公式求解；
（2）利用（1）的结果作出判断.
【详解】（1）由数据得：
；
；

（2）由（1）可知，甲乙两人平均成绩一样，乙的方差小于甲的方差，
说明乙的成绩更稳定；
应该选乙参加比赛.
21、（1）
（2）
【解析】（1）解不等式求出集合、，然后根据交集的运算法则求交集；
（2）解不等式求出集合、，求出，然后根据充分不必要性列出不等式组求解.
【小问1详解】
解：由题意得：当时，
可解得集合的解集为
由可解得或

故.
【小问2详解】
的解集为
又

又“”是“x∈A”的充分不必要条件
解得：，故实数a的取值范围
22、（1）；（2）①证明见解析，；②.
【解析】（1）根据椭圆的定义以及角平分线的性质可得，，结合点在椭圆上，以及即可求出的值，进而可得椭圆的方程.
（2）①设，，联立直线与椭圆方程，求得，，利用斜率之和等于得出关于的方程，解得即可得所过的定点，②由弦长公式求出，点到直线的距离公式求得高，由面积公式表示三角形的面积，利用基本不等式即可求最值.
【详解】（1）如图，由题意可知，由椭圆定义知，则
，连接，所以，所以

又在椭圆上则，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（2）①证明：设，，
联立，整理可得：，
所以，可得，
，，
设直线，，的斜率为，，，因为直线，，的斜率之和为0，所以，即所以，由，所以，
所以直线恒过定点；
②由①可得：，
原点到直线的距离，
所以，
因为，当且仅当时，
即，即时取等号，
所以，即面积的最大值为1
【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：