2025-2026学年南阳市重点中学数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年南阳市重点中学数学高二上期末学业质量监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【山东省潍坊市二模】已知双曲线的离心率为，其左焦点为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知是上的单调增函数，则的取值范围是
A.﹣1b2 B.﹣1b2
C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b2
3．椭圆的左右两焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，，则椭圆C的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. B.
C. D.
5．有关椭圆叙述错误的是（ ）
A.长轴长等于4 B.短轴长等于4
C.离心率为 D.的取值范围是
6．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A.或 B.
C.或 D.
7．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8．现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A、B、C、D、E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）
A. B.
C. D.
9．已知双曲线，过左焦点且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若弦的长恰等于实铀的长，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10．抛物线的准线方程是
A.x=1 B.x=-1
C. D.
11．已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
12．若是等差数列的前项和，，则（）
A.13 B.39
C.45 D.21
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若平面内两条直线，平行，则实数______
14．函数的导数_________________.
15．已知，命题p：，；命题q：，，且为真命题，则a的取值范围为______
16．已知球的表面积为,则该球的体积为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，

（1）证明：平面；
（2）求直线平面所成的角的正弦值
18．（12分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率.

（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
19．（12分）已知数列的首项，其前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，且，求n.
20．（12分）已知椭圆E：的离心率，且右焦点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，过原点，若，证明：四边形的面积为定值.
21．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求C；
（2）若，求的最大值
22．（10分）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】分析：根据题设条件，列出方程，求出，，的值，即可求得双曲线得标准方程
详解：∵双曲线的离心率为，其左焦点为
∴，
∴
∵
∴
∴双曲线的标准方程为
故选D.
点睛：本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，根据题设条件求出，，的值是解决本题的关键.
2、A
【解析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题
【详解】∵
∴
∵函数是上的单调增函数
∴在上恒成立
∴，即.
∴
故选A.
【点睛】可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解.
3、C
【解析】由题可得为等边三角形，可得，即得.
【详解】∵过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，
∴为等边三角形，
由代入，可得，
∴，所以，
即，又，
解得.
故选：C.
4、A
【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
5、A
【解析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案.
【详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确.
故选：A.
6、A
【解析】由一元二次不等式的解集可得且，确定a、b、c间的数量关系，再求的解集.
【详解】由题意知：且，得，
从而可化为，等价于，解得或.
故选：A.
7、D
【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.
【详解】由题知是等腰直角三角形，且，
，

又，，即，
，，即，
解得，
，.
故选：D.
8、D
【解析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
9、B
【解析】求出，进而求出，之间的关系，即可求解结论
【详解】解：由题意，直线方程为：，
其中，
因此，设，，，
，解得，得，，
弦的长恰等于实轴的长，
，
，
故选：B
10、C
【解析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程
【详解】解：整理抛物线方程得，∴p＝
∵抛物线方程开口向上，
∴准线方程是y＝﹣
故答案为C
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题
11、A
【解析】由已知得，
因为，
所以，故选A
12、B
【解析】先根据等差数列的通项公式求出，然后根据等差数列的求和公式及等差数列的下标性质求得答案.
【详解】设等差数列的公差为d，则，则.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-1或2
【解析】根据两直线平行，利用直线平行的条件列出方程解得答案.
【详解】∵，∴，解得或，
经验证都符合题意，
故答案为：-1或2
14、.
【解析】根据初等函数的导数法则和导数的四则运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得.
故答案为：.
15、
【解析】先求出命题p,q为真命题时的a的取值范围，根据为真可知p,q都是真命题,即可求得答案.
【详解】命题p：，为真时，有，
命题q：，为真时，则有 ，
即 ，
故为真命题时，且，即，
故a的取值范围为，
故答案为：
16、
【解析】设球半径为，由球表面积求出，然后可得球的体积
【详解】设球半径为，
∵球的表面积为，
∴，
∴，
∴该球的体积为
故答案为
【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由已知条件可得，，则，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）如图，过点作，交直线于点，连接，可证得平面，从而是与平面所成的角，然后在求解即可
【详解】（1）证明：由，，，，得，所以，由
由，，，，得，
由，得，
由，得，所以，
故，又，因此平面
（2）解如图，过点作，交直线于点，连接
由平面，平面，得
平面平面，由，得平面，
所以是与平面所成的角
由，，
得，，
所以，故
因此，直线与平面所成的角的正弦值是

【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点作，交直线于点，连接，然后结合条件可证得是与平面所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题
18、（1）
（2）
【解析】（1）由条件可得，，然后可得答案；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方程，然后可得然后可求出答案.
【小问1详解】
因为椭圆的一个焦点是，且离心率
所以，，所以
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立可得，所以
所以中点的纵坐标为，横坐标为
所以线段的垂直平分线方程为
令，可得
当时，
当时，，因为，所以
综上：
19、（1）
（2）
【解析】（1）由条件得，则利用等差数列的定义可得答案；
（2）利用裂项求和求出，再根据可求出n.
【小问1详解】
由得，
从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）得

，
由得
又，所以.
20、（1）
（2）证明见解析.
【解析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组求解即可；
(2)设，代入，利用韦达定理，通过，结合，转化求解即可
【小问1详解】

【小问2详解】
设，设，代入，
得，
∵，∴，，
∵，得，
即，
解得，
∵，
且，
又，，
整理得，
∴为定值
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C的大小.
（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求最大值.
【小问1详解】
由，得，即，
由余弦定理得：，又，所以
【小问2详解】
由（1）知：，则，
设△ABC外接圆半径为R，则，
当时，取得最大值为
22、（1）
（2）或
【解析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径.
（2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.
小问1详解】
点和的中点为，,所以中垂线的， 利用点斜式得方程为，联立方程 得圆心坐标为， 所以圆C的标准方程为.
【小问2详解】
当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意.
当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或.