安徽省六安三校2025-2026学年数学高二上期末检测模拟试题含解析.doc

安徽省六安三校2025-2026学年数学高二上期末检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则“”是“直线与直线”平行的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
2．已知，，点为圆上任意一点，设，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A.2 B.
C. D.8
4．函数f（x）＝的图象大致形状是（　　）
A. B.
C. D.
5．若，（），则，的大小关系是
A. B.
C. D.，的大小由的取值确定
6．总体由编号为的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

A.20 B.26
C.17 D.03
7．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知两直线与，则与间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
9．在数列中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．已知x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A.3 B.
C.1 D.
12．已知函数，则（）
A.3 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．“五经”是《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》的合称，贵为中国文化经典著作，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.某校计划开展“五经”经典诵读比赛活动，某班有、两位同学参赛，比赛时每位同学从这本书中随机抽取本选择其中的内容诵读，则、两位同学抽到同一本书的概率为______.
14．若复数满足，则_____
15．已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______
16．已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.

（1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
（2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
重量范围（单位：）

个数

为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
18．（12分）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.
19．（12分）如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，点为的中点，点在直线上，且

（1）证明：面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值
20．（12分）已知抛物线：上的点到焦点的距离为
（1）求抛物线的方程；
（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程
21．（12分）已知数列满足，，且成等比数列
（1）求的值和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
22．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；

（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由两直线平行确定参数值，根据充分必要条件的定义判断
【详解】时，两直线方程分别为，，它们重合，不平行，因此不是充分条件；
反之，两直线平行时，，解得或，
由上知时，两直线不平行，
时，两直线方程分别为，，平行，
因此，本题中也不是必要条件
故选：D
2、C
【解析】根据题意可设，再根据，求出，再利用三角函数的性质即可得出答案.
【详解】解：由点为圆上任意一点，
可设，
则，
由，得，
所以则，
则，其中，
所以当时，取得最大值为22.
故选：C.
3、C
【解析】由斜二测还原图形计算即可求得结果.
【详解】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，，可得，.
还原原图形如图：则，则
.
故选：C

4、B
【解析】利用函数的奇偶性排除选项A,C，然后利用特殊值判断即可
【详解】解：由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以函数是奇函数，排除选项A,C.
当时，，排除选项D，
故选：B
5、A
【解析】∵
且 ，
∴，又，∴，故选A.
6、D
【解析】根据题目要求选取数字，在30以内的正整数符合要求，不在30以内的不合要求，舍去，与已经选取过重复的舍去，找到第5个个体的编号.
【详解】已知选取方法为从第一行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，所以选取出来的数字分别为12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（与前面重复，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故选出来的第5个个体的编号为03.
故选：D
7、B
【解析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.
【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；
而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.
所以是的必要不充分条件.
故选：B
8、B
【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.
【详解】直线的方程化为：，显然，，
所以与间的距离为.
故选：B
9、A
【解析】根据已知条件，利用累加法得到的通项公式，从而得到.
【详解】由，得，
所以

，
所以.
故选：A.
10、B
【解析】构造，通过求导，研究函数的单调性及极值，最值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】令，即，令，当时，，，令得：或，结合，所以，令得：，结合得：，所以在处取得极大值，也是最大值，，当时，，且，
当时，，则恒成立，单调递增，且当时，，当时，，
画出的图象，如下图：

要想有3个零点，则
故选：B
11、A
【解析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
故选：A

【点睛】方法点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
12、B
【解析】由导数运算法则求出导发函数，然后可得导数值
【详解】由题意，所以
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】计算出、两位同学各随机抽出一本书的结果种数，以及、两位同学抽到同一本书的结果种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】、两位同学抽到的结果都有种，
由分步乘法计数原理可知，、两位同学各随机抽出一本书，共有种结果，
而、两位同学抽到同一本书的结果有种，故所求概率为.
故答案为：.
14、
【解析】设，则，利用复数相等，求出，的值，结合复数的模长公式进行计算即可
【详解】设，则，
则由得，
即，
则，得，
则，
故答案为
【点睛】本题主要考查复数模长的计算，利用待定系数法，结合复数相等求出复数是解决本题的关键
15、
【解析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项.
【详解】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以
故答案为：.
16、3
【解析】由题意求得抛物线的准线方程为，进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得，再结合和离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，
根据抛物线定义，可得，即，
所以抛物线的准线方程为，
又由双曲线C的两条渐近线方程为，
则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为，
解得，
又由，可得，
所以双曲线C离心率.
故答案为：3.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）分布列答案见解析，数学期望为.
【解析】（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
【小问1详解】
解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.
【小问2详解】
解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，
，；，
所以，随机变量的分布列为：

所以
18、
【解析】设圆心坐标为，根据两点在圆上利用两点的距离公式建立关于的方程，解出值．从而求出圆的圆心和半径，可得圆的方程
【详解】解：∵ 圆心在直线，
∴设圆心坐标为，
根据点和在圆上，可得
解之得.
∴圆心坐标为，半径.
因此，此圆的标准方程是
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）证明平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果.
【小问1详解】
证明：正中，点为的中点，，
因为平面，平面，则，
，则平面，
平面，则，
又，且，平面.
【小问2详解】
解：因为，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
平面，平面，则，
又因为，，故平面，
所以，平面的一个法向量为，
则.
因此，平面和平面夹角的余弦值为.
20、（1）；（2）
【解析】（1）利用抛物线的性质即可求解.
（2）设直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，即可求解.
【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，
由点到焦点的距离为，得，解得，
所以抛物线的标准方程为
（2）设，，
显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立消去得，
由得，即
所以，
又因为，，
所以，
所以，
即，
解得，满足，
所以直线的方程为
21、（1）；；（2）
【解析】（1）由于，所以可得，再由成等比数列，列方程可求出，从而可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用错位相减法求
【详解】解：（1）数列{an}满足，
所以，
所以a2+a3＝a1+a2+d，
由于a1＝1，a2＝1，
所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，
且a1，a2+a3，a8+a9成等比数列，
所以，
整理得d＝1或2（1舍去）
故an+2＝an+2，
所以n奇数时，an＝n，
n为偶数时，an＝n﹣1
所以数列{an}的通项公式为
（2）由于，所以
所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2•（2n﹣1）2]+22n﹣2•（2n）2，
＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2•[（2n）2﹣（2n﹣1）2]
＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2•（4n﹣1）①，
所以，②，
①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+．．．+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），
＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），
＝，
所以

22、（I）（II）
【解析】（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案
解：（I）以，，x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），
∴cos＜，＞==
∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），
设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），
则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：

考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角