上海市嘉定区封浜高中2025-2026学年高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

上海市嘉定区封浜高中2025-2026学年高二数学第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线
C.的一个零点为 D.在区间的最小值为1
2．已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3．曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（ ）
A.12 B.13
C.14 D.15
4．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
5．已知梯形中，，且，则的值为（）

A. B.
C. D.
6．若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
7．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则平分
C.若，则 D.若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线
8．已知命题：，；命题：，使，若“”为假命题，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）
A.25.5尺 B.34.5尺
C.37.5尺 D.96尺
10．已知等差数列中的、是函数的两个不同的极值点，则的值为（）
A B.1
C.2 D.3
11．如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，中点，在线段上，则与平面的位置关系是（）

A.垂直 B.平行
C.相交但不垂直 D.要依点的位置而定
12．已知为偶函数，且，则___________.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知几何体如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在DG上，若直线MB与平面BEF所成的角为45°，则___________.

14．过点,的直线方程（一般式）为___________.
15．已知数列满足，定义使（）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_____
16．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长值
18．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19．（12分）已知椭圆：的一个焦点坐标为，离心率.

（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M.若直线OM的斜率为-1，求线段AB的长；
（3）如图，设椭圆上一点R的横坐标为1（R在第一象限），过R作两条不重合直线分别与椭圆交于P、Q两点、若直线PR与QR的倾斜角互补，求直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.
20．（12分）某市为加强市民对新冠肺炎的知识了解，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），共5人，第2组[25，30），共35人，第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求a的值；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，且该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有-名志愿者被抽中的概率.
21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，

（1）求证：；
（2）求直线与所成角的余弦值
22．（10分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.
【详解】函数，周期为，故A错误；
函数图像的对称轴为，，，
不是对称轴，故B错误；
函数的零点为，，，
所以不是零点，故C错误；
时，，所以，即，所以，故D正确.
故选：D
2、A
【解析】根据给定直线设出点P的坐标，再借助列出关于的不等式，然后由不等式有解即可计算作答.
【详解】因点P在直线l：上，则设，于是有，
而，因此，，
即，依题意，上述关于的一元二次不等式有实数解，
从而有，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：A
3、D
【解析】由题可知A，B为半圆C与抛物线的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.
【详解】由曲线，可得，
即，为圆心为，半径为7半圆，
又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，
依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点，
由，得，
设，则，，
∴.
故选：D.
4、A
【解析】由直线斜率与方向向量的关系算出斜率，然后可得.
【详解】记直线的倾斜角为，由题知，又，所以，即.
故选：A
5、D
【解析】根据共线定理、平面向量的加法和减法法则，即可求得，进而求出的值，即可求出结果.
【详解】因为，
所以

又，
所以.
故选：D.
6、C
【解析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案.
【详解】对A，，为奇函数；
对B，，为奇函数；
对C，，为偶函数；
对D，，既不是奇函数也不是偶函数.
故选：C.
7、D
【解析】根据求出焦点为、点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，由两点间的距离公式求出可判断AC；
时可得，．由可判断B；
求出点坐标可判断D.
【详解】如图，若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，整理得，与抛物线方程联立得
，解得或，所以，
所以，选项A错误；

时，因为，所以．又，
，所以不平分，选项B不正确；

若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，所以，
所以，选项C错误；

若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，所以，直线的方程为，延长交直线于点D，所以则，
所以D，B，N三点共线，选项D正确；

故选： D.
8、D
【解析】根据题意，判断命题和的真假性，结合判别式与二次函数恒成立问题，即可求解.
【详解】根据题意，由为假命题可得“”为真命题，即p、q都为真命题，
故，解得
故选：D
9、A
【解析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案
【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.
由题可知，所以，
，
，
，
故选：A
10、C
【解析】对求导，由题设及根与系数关系可得，再根据等差中项的性质求，最后应用对数运算求值即可.
【详解】由题设，，由、是的两个不同的极值点，
所以，又是等差数列，
所以，即，故.
故选：C
11、B
【解析】构造三角形,先证∥平面,同理得∥平面,再证平面∥平面即可.
【详解】连接，，.

因为在直三棱柱中，M，N分别是，AB的中点，所以∥.
因为平面内，平面，所以∥平面.
同理可得AM∥平面.
又因为，平面，平面，
所以平面∥平面.
又因为P点在线段上，所以∥平面.
故选：B.
12、8
【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，
【详解】为偶函数，且，
.
故答案为：8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】把该几何体补成一个正方体，如图，利用正方体的性质证明面面垂直得出直线MB与平面BEF所成的角，然后计算可得
【详解】把该几何体补成一个正方体，如图，，连接，
由平面，平面，得，同理，
又正方形中，，，平面，
所以平面，而平面，所以平面平面，
所以平面内的直线在平面上的射影是，即是直线MB与平面BEF所成的角，，
，

，
故答案为：

14、
【解析】利用两点式方程可求直线方程.
【详解】∵直线过点,，∴，∴，
化简得.
故答案为：.
15、2036
【解析】先用换底公式化简之后，将表示出来，找出满足条件的“幸福数”，然后求和即可.
【详解】当时，，
所以，
若满足正整数，则，即，
所以在内的所有“幸福数”的和为：
,
故答案为：2036.
16、6
【解析】由椭圆方程得到F，O的坐标，设P(x，y)(－2≤x≤2)，利用数量积的坐标运算将·转化为二次函数最值求解.
【详解】由椭圆＋＝1，可得F(－1，0)，点O(0，0)，
设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则·＝x2＋x＋y2
＝x2＋x＋3
＝x2＋x＋3
＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当x＝2时， ·取得最大值6.
故答案为：6
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及应用以及椭圆的几何性质和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.
【小问1详解】
由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；
【小问2详解】
由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据条件求出即可；
（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】（1）且，，

（2）

19、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】(1)根据给定条件求出椭圆长半轴长a即可计算得解.
(2)将代入椭圆的方程，再结合给定条件求出k值即可计算出AB的长.
(3)设出直线PR的方程，再与椭圆的方程联立求出点P坐标，同理可得点Q坐标，计算PQ的斜率即可作答.
【小问1详解】
依题意椭圆的半焦距c=1，而，解得，则，
所以椭圆的方程是：.
【小问2详解】
由消去y并整理得：，解得，，
于是得线段AB的中点，直线OM斜率为，解得，
因此，，
所以线段AB的长为.
【小问3详解】
由(1)知，点，依题意，设直线PR的斜率为，直线PR方程为：，
由消去y并整理得，，
设点，则有，显然直线QR的斜率为-t，设点，同理有，
于是得直线PQ的斜率，
所以直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.
【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程结合已知条件求出a，b；
若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.
20、（1）0.04；
（2）.
【解析】（1）根据频率的计算公式，结合概率之和为1，即可求得参数；
（2）根据题意求得抽样比以及第三组和第四组各抽取的人数，再列举所有可能抽取的情况，找出满足题意的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.
【小问1详解】
第一组频率为，第二组的频率为，
则第一组与第二组的频率之和为，
又，故.
【小问2详解】
第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志题者中抽收6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：.
记第3组的3名志愿者为，第4组的2名志愿者为，
则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：
，
，
共有10种
其中第3组的3名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：
，
共9种.
所以第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）过点作交的延长线于点，连接，由，，证出平面，即可证出.
（2）以为原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
写出相应点的坐标，利用，即可得到答案.
【小问1详解】
过点作交的延长线于点，连接，

因为，所以，
又因为，所以
所以，即，.
因为，所以平面，
因为平面，所以
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
以为原点，的方向分别为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，可得
，
因为，
所以直线与所成角的余弦值为
22、（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）
（2）见解析
【解析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元
∴蓄水池的总建造成本为元
所以即
∴
∴
又由可得
故函数的定义域为
（2）由（1）中，
可得（）
令，则
∴当时，，函数为增函数
当，函数为减函数
所以当时该蓄水池的体积最大
考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.