湖北省襄州区四校2025年高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

湖北省襄州区四校2025年高二数学第一学期期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，方程所表示的图形是（）
A圆 B.椭圆
C.双曲线 D.球
2．直线过双曲线：的右焦点，在第一、第四象限交双曲线两条渐近线分别于P，Q两点，若∠OPQ＝90°（O为坐标原点），则OPQ内切圆的半径为（ ）
A. B.
C.1 D.
3．已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知双曲线：，直线经过点，若直线与双曲线的右支只有一个交点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则其前项和取得最大值时，的值为（ ）
A.12 B.13
C.12或13 D.13或14
6．已知数列满足，其前项和为，，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为（）
A.10 B.11
C.12 D.13
7．已知直线：与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点，若C为直线与y轴的交点，且，则k等于（）
A.4 B.6
C. D.
8．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是
A. B.
C. D.
9．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
12．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数的图象上有一点，则曲线在点处的切线方程为______.
14．如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________

15．某次实验得到如下7组数据，通过判断知道与具有线性相关性，其线性回归方程为，则______参考公式：）

1
2
3
4
5
6
7

6.0
6.2
6.3
6.4
6.4
6.7
6.8

16．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于A，B两点（点B在第一象限），与准线交于点P.若，，则____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.
（1）求证：数列{-5000}为等比数列；
（2）如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？
18．（12分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程.
（2）若直线为曲线切线，且经过坐标原点，求直线的方程及切点坐标.
19．（12分）已知圆
（1）若直线与圆C相交于A、B两点,当弦长最短时,求直线l的方程;
（2）若与圆C相外切且与y轴相切的圆的圆心记为D,求D点的轨迹方程
20．（12分）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.
（1）求该椭圆的方程；
（2）若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，点P是椭圆C上任一点，若面积的最大值为，且离心率
（1）求C的方程；
（2）A，B为C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，证明：直线与的交点在一条定直线上
22．（10分）在中，
（1）求的大小；
（2）若，．求的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】方程表示空间中的点到坐标原点的距离为2，从而可知图形的形状
【详解】由得，
表示空间中的点到坐标原点的距离为2，
所以方程所表示的图形是以原点为球心，2为半径的球，
故选：D
2、B
【解析】根据渐近线的对称性，结合锐角三角函数定义、正切的二倍角公式、直角三角形内切圆半径公式进行求解即可.
【详解】由双曲线标准方程可知：，
双曲线的渐近线方程为：，因此，因为∠OPQ＝90°，
所以三角形是直角三角形，，
而，解得：，由双曲线渐近线的对称性可知：
，于是有，
在直角三角形中，，由勾股定理可知：
，设OPQ内切圆的半径为，
于是有：，
即，
故选：B
【点睛】关键点睛：利用三角形内切圆的性质是解题的关键.
3、A
【解析】设椭圆另一个焦点为，连接，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，，
如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，
因为、分别为、的中点，则，
则的周长为，
故选：A.

4、D
【解析】以双曲线的两条渐近线作为边界条件，即可保证直线与双曲线的右支只有一个交点.
【详解】双曲线：的两条渐近线为和
两渐近线的倾斜角分别为和
由经过点的直线与双曲线的右支只有一个交点，
可知直线的倾斜角取值范围为，
故直线的斜率的取值范围是
故选：D
5、C
【解析】设等差数列的公差为q，根据，，成等比数列，利用等比中项求得公差，再由等差数列前n项和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为q，
因为，且，，成等比数列，
所以，
解得，
所以，
所以当12或13时，取得最大值，
故选：C
6、A
【解析】根据题意和对数的运算公式可证得为以2为首项，2为公比的等比数列，
求出，进而得到，利用裂项相消法求得，再解不等式即可.
【详解】由，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故，则，
所以，
由，得，即，
有，又，所以，
即n的最小值为10.
故选：A
7、D
【解析】先求出双曲线的渐近线方程，然后分别与直线联立，求出A、B两点的横坐标，再利用可求解.
【详解】由双曲线方程可知其渐近线方程为：，
当时，与联立，得，
同理得，
由，且可知，
所以有，解得.
故选：D
8、D
【解析】由题，为可导函数，
，即曲线在点处的切线的斜率是 ，选D
【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式
9、B
【解析】函数既有极大值又有极小值转化为导函数在定义域上有两个不同的零点.
【详解】因为既有极大值又有极小值，
且，
所以有两个不等的正实数解，
所以，且，解得，且.
故选:B.
10、C
【解析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故选：C
11、B
【解析】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
取的中点，因为，则，
由勾股定理可得，

所以，.
故选：B.
12、C
【解析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.
【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，
设点、、，
联立可得，，，
所以，，
，，
直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，，
因为，则，因为，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用导数求得为增函数，根据，求得，进而求得，得出即在点处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解
【详解】由题意，点在曲线上，可得，
又由函数，则，
所以函数在上为增函数，且，所以，
因为，所以，即在点处的切线的斜率为2，
所以曲线在点的切线方程为，即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力
14、
【解析】根据条件先由正弦定理求出的长，得出,求出的长，由勾股定理可得答案.
【详解】海轮向北航行后到达点，则
由题意，在中， 又则,
由正弦定理可得：,即
在中， ，
所以
故答案为：
15、9##
【解析】求得样本中心点的坐标，代入回归直线，即可求得.
详解】根据表格数据可得：

故，解得.
故答案为：.
16、
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，然后根据抛物线的定义和三角形相似的关系可求得结果
【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由抛物线的定义可知，，
不妨设，因为，所以，
因为∽，所以，
即，所以，
所以，
因为与反向所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）足够
【解析】（1）由题意可得出递推关系，变形后利用等比数列的定义求证即可；
（2）由（1）利用等比数列的通项公式求出，再求出，再计算即可得出结论.
【小问1详解】
依题意，第1个月底股票市值

则
又
∴数列是首项为1200，公比为1.2的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知
∴
∵，所以王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的.
18、 (1) ；(2) 直线的方程为，切点坐标为.
【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.
【详解】（1）.
所以在点处的切线的斜率，
∴切线的方程为；
（2）设切点为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
所以又直线过点，
∴，
整理，得，∴，
∴，的斜率，
∴直线的方程为，切点坐标为.
【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
19、（1）
（2）
【解析】(1)先求出直线过的定点,再根据弦长|AB|最短时,求解.
(2)用直译法求解
【小问1详解】
直线即,所以直线过定点.

当弦长|AB|最短时,
因为直线PC的斜率
所以此时直线的斜率
所以当弦长|AB|最短时,求直线的方程为,即
【小问2详解】

设,易知圆心D在轴上方,圆D半径为
因为圆与圆外切,所以
即
整理得点的轨迹方程为
20、（1）;
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据焦点坐标及椭圆上的点，利用椭圆的定义求出a，再由关系求b，即可得解；
（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，利用斜率公式计算出，根据等差中项计算，即可证明成等差数列.
【小问1详解】
∵椭圆的焦距，
椭圆的两焦点坐标分别为，
又点在椭圆上，
，
即.

该椭圆方程为.
【小问2详解】
设.
当直线l的斜率为0时，其方程为，代入，可得.
不妨取，则
，
成等差数列.
当直线l的斜率不为0时，设其方程为，
由，消去x得 .

即，
成等差数列，
综上可得，，成等差数列.
21、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）用待定系数法求出椭圆的方程；
（2）设直线MN的方程为x=my+1，设,用“设而不求法”表示出.由直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得：，即可证明直线AM与BN的交点在直线上.
【小问1详解】
由题意可得：，解得：,所以C的方程为.
【小问2详解】
由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),设直线MN的方程为x=my+1.
设,由，消去y得：，
所以.所以.
因为直线AM的方程为，直线BN的方程为，二者联立，有，所以，解得：，
直线AM与BN的交点在直线上.
【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；
（2）首先由余弦定理求出，即可得到，再根据面积公式计算可得；
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理可得，
即，
又在中，，所以，，所以；
【小问2详解】
解：由余弦定理得，即，
解得，所以，又，
所以；.