福建福州市第一高级中学2026届数学高二第一学期期末经典试题含解析.doc

福建福州市第一高级中学2026届数学高二第一学期期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（　　）
A.2 B.
C.4 D.8
2．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）
A. B.
C.2 D.
3．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）

A. B.
C. D.
4．已知等比数列的前n项和为，若，，则（）
A.250 B.210
C.160 D.90
5．过点作圆的切线，则切线的方程为（）
A. B.
C.或 D.或
6．某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况，对75名好友进行编号，分别为1，2，…，75，采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知11号，26号，56号，71号好友在样本中，则样本中还有一名好友的编号是（）
A.40 B.41
C.42 D.39
7．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）
A.2022年1月8日 B.2022年1月9日
C.2022年1月10日 D.2022年1月11日
8．已知直线，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C若，，则 D.若，，则
9．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知，若，则（）
A. B.2
C. D.e
11．在长方体中，，，分别是棱，的中点，则异面直线，的夹角为（）
A. B.
C. D.
12．已知事件A，B相互独立，，则（）
A.0.24 B.0.8
C.0.3 D.0.16
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等差数列的公差，是其前n项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；‚给定n，对于一些，都有；ƒ存在使和同号；„.其中正确命题的序号为___________.
14．已知向量，，若向量与向量平行，则实数______
15．如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，分别记四棱锥，的体积为，，则的最小值为______

16．已知直线l：和圆C：，过直线l上一点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

（1）求证：为正四面体；
（2）若，求二面角的大小；
（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.

（1）求，的方程；
（2）求证：直线和的斜率之积为定值；
（3）求证：为定值.
19．（12分）设数列满足，数列的前项和为，且
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，若对任意正整数，当时，恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）设命题，，命题，.若p、q都为真命题，求实数m的取值范围.
21．（12分）已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
22．（10分）已知平面内两点.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求线段的垂直平分线方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据椭圆的离心率，即可求出，进而求出长轴长.
【详解】由椭圆的性质可知，
椭圆的离心率为，则，即
所以椭圆C的长轴长为
故选：C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.
2、D
【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.
【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,

则,,,
设点,
故，，.
设设平面的法向量为，
则即，取，则.
所以点到平面距离 .
当，即时，距离有最大值为 .
故选:D.
【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.
3、B
【解析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知可得，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
4、B
【解析】设为等比数列，由此利用等比数列的前项和为能求出结果
【详解】设，等比数列的前项和为
为等比数列，
为等比数列，

解得
故选：B
5、C
【解析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可.
【详解】圆的圆心为原点，半径为1，
当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即
所以，解得或
所以切线的方程为或
故选：C
6、B
【解析】根据系统抽样等距性即可确定结果.
【详解】根据系统抽样等距性得：11号，26号，56号，71号以及还有一名好友的编号应该按大小排列后成等差数列，样本中还有一名好友的编号为26号与56号的等差中项，即41号，
故选：B
【点睛】本题考查系统抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.
7、B
【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.
【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.
则
40小时=2400分钟，令，得或（舍去），
故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.
故选：B
8、C
【解析】对于A, 可能在内，故可判断A；对于B, 可能相交，故可判断B;
对于C,根据线面垂直的判定定理，可判定C; 对于D, 和可能平行，或斜交或在内，故可判断D.
【详解】对于A, 除了外，还有可能在内，故可判断A错误；
对于B, ，那么可能相交，故可判断B错误；
对于C,根据线面平行的性质定理可知，在内一定存在和平行的直线，那么该直线也垂直于 ，所以，故判定C正确;
对于D，，，则 和可能平行，或斜交或在内，故可判D.错误，
故选：C.
9、C
【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.
【详解】由，，
视为原点到直线上点的距离的平方，
根据点到直线垂线段最短，
可得，
所有的取值范围为，
故选：C.
10、B
【解析】求得导函数，则，计算即可得出结果.
【详解】,
.
,解得：.
故选：B
11、C
【解析】设出长度，建立空间直角坐标系，根据向量求异面直线所成角即可.
【详解】如下图所示，以，，所在直线方向，，轴，
建立空间直角坐标系，设，
，，，所以，，
设异面直线，的夹角为，所以，
所以，即异面直线，的夹角为.
故选：C.

12、B
【解析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.
【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、‚
【解析】对，根据数列的单调性和可判断；对‚和ƒ，利用等差数列的通项公式可直接推导；对„，利用等差数列的前项和可直接推导.
【详解】不妨设等差数列的首项为
对，，可得：，解得：，即
又，则是递减的，则中的前5项均为正数，
所以和都是中的最大项，故正确；
对‚，
，故有：，故‚正确；
对ƒ，，又，则，说明不存在使和同号，故ƒ错误；
对„，有：

故并不是恒成立的，故„错误
故答案为：‚
14、2
【解析】先求出的坐标，进而根据空间向量平行的坐标运算求得答案.
【详解】由题意，，因为，所以存在实数使得.
故答案为：2.
15、
【解析】设，用参数表示目标函数，利用均值不等式求最值即可.
【详解】取线段AD中点为F，连接EF、D1F，过P点引于M，于N，
则平面，平面，
则，
∴，
设，
则，，
即，，
∴，
当且仅当时，等号成立，
故答案为：

16、1
【解析】求出圆C的圆心坐标、半径，再借助圆的切线性质及勾股定理列式计算作答.
【详解】圆C：，圆心为，半径，点C到直线l的距离，
由圆的切线性质知：，
当且仅当，即点P是过点C作直线l的垂线的垂足时取“=”，
所以的最小值为1
故答案为：1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件.
【解析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论.
（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由线面垂直的判定可证平面PAM，即是二面角的平面角，进而求其大小
（3）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱.
【小问1详解】
由棱台与棱锥的棱长和相等，
∴，
故.
又截面底面ABC，则，，
∴，从而，故为正四面体.
【小问2详解】
取BC的中点M，连接PM、DM、AM，

由，，得：平面PAM，
而平面PAM，故，
从而是二面角的平面角.
由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以.
由D是PA的中点，得.
在Rt△ADM中，，
故二面角的大小为.
【小问3详解】
存在满足条件的直四棱柱.
棱台的棱长和为定值6，体积为V.
设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为.
因为正四面体的体积是，
所以，，从而，
故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件.
18、（1）：；：
（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】（1）利用待定系数法，根据条件先求曲线的方程，再求曲线的方程；
（2）首先设，表示直线和的斜率之积，即可求解定值；
（3）首先表示直线与方程联立消，利用韦达定理表示弦长，以及利用直线和的斜率关系，表示弦长，并证明为定值.
【小问1详解】
由题设知，椭圆离心率为
解得
∴，
∵椭圆的左右焦点，是双曲线的左右顶点，
∴设双曲线：
∴的离心率为解得.
∴：
：；
小问2详解】
证明：∵点在上
∴设
则，
∴.
∴直线和的斜率之积为定值1；
【小问3详解】
证明：设直线和的斜率分别为，，则
设，
：与方程联立消得
“*”
则，是“*”的二根
则
则

同理
∴.
19、（1）证明见解析，；
（2）或.
【解析】（1）结合与关系用即可证明为常数；求出通项公式后利用累加法即可求的通项公式；
（2）裂项相消求，判断单调性求其最大值即可.
【小问1详解】
当时，
得到
，∴，
当时，
是以4为首项，2为公差的等差数列
∴
当时，

当时，也满足上式，.
【小问2详解】

令，

当，
因此的最小值为，的最大值为
对任意正整数，当时，恒成立，得，
即在时恒成立，
，解得t＜0或t＞3.
20、
【解析】先求出命题为真时，的取值范围，再取交集可得答案.
【详解】若命题，为真命题，则，解得；
若命题，为真命题，则命题，为假命题，
即方程无实数根，
因此，，解得.
又p、q都为真命题，所以实数m的取值范围是.
【点睛】本题考查全称命题与特称命题的真假求参数值、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
21、
【解析】若真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得；若为真命题，利用分离参数法并结合基本不等式可得，再根据为真命题，为假命题，可知，一真命题一假命题；再分“为真命题，为假命题”和“为假命题，为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果.
【详解】解：若为真命题，则有解，所以，即；
若为真命题，则对一切恒成立,
令
则,当且仅当，即时，取得最小值；
所以，即；
又为真命题，为假命题，所以，一真命题一假命题；
当为真命题，为假命题时，，所以；
当为假命题，为真命题时，，所以；
综上所述，.
22、（1）
（2）
【解析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出线段的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程.
试题解析：（1）∵点
∴
∴由点斜式得直线的方程
（2）∵点
∴线段的中点坐标为
∵
∴线段的垂直平分线的斜率为
∴由点斜式得线段的垂直平分线的方程为