2025年陕西省延安市宝塔四中高二上数学期末调研模拟试题含解析.doc

2025年陕西省延安市宝塔四中高二上数学期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（）

A. B.
C. D.
2．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3．直线的斜率是（）
A. B.
C. D.
4．如果双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
5．椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A. B.
C. D.
6．的展开式中的系数是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A.1 B.2
C.4 D.8
8．已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（ ）
A B.
C. D.
9．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
10．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）

A. B.
C. D.
11．方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）
A. B.
C. D.
12．已知函数，则（）
A. B.0
C. D.1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数列的前项和为，若，则=____________.
14．总书记在2021年2月25日召开的全国脱贫攻坚总结表彰大会上发表重要讲话，庄严宣告，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚取得了全面胜利.在脱贫攻坚过程中，为了解某地农村经济情况，工作人员对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下列结论中所存确结论的序号是____________
①该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%；
②该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%；
③估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元；
④估计该地有一半以上农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
15．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率___________.
16．已知椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，椭圆上的点到左焦点最近的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若经过点的直线与椭圆C交于M，N两点，当的面积取得最大值时，求直线的方程.
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面于点M连接.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
19．（12分）已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标
20．（12分）新冠疫情下，有一学校推出了食堂监管力度的评价与食品质量的评价系统，每项评价只有合格和不合格两个选项，师生可以随时进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位师生的信息，发现对监管力度满意的占75%，对食品质量满意的占60%，其中对监管力度和食品质量都满意的有80人.
（1）完成列联表，试问：是否有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联？
监督力度情况
食品质量情况
对监督力度满意
对监督力度不满意
总计
对食品质量满意
80

对食品质量不满意

总计

200
（2）为了改进工作作风，针对抽取的200位师生，对监管力度不满意的人抽取3位征求意见，用X表示3人中对监管力度与食品质量都不满意的人数，求X的分布列与均值.
参考公式：，其中.
参考数据：
①当时，有90%的把握判断变量A、B有关联；
②当时，有95%的把握判断变量A、B有关联；
③当时，有99%的把握判断变量A、B有关联.
21．（12分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为

5
6
7

.

表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.
（1）求的分布列；
（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？
22．（10分）已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率e为，点在椭圆上
（1）求椭圆C的方程；
（2）若A、B为椭圆的左右顶点，过点(1，0)的直线交椭圆于M、N两点，设直线AM、BN的斜率分别为，求证为定值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】设，根据线面垂直的性质得，，，，根据向量数量积的定义逐一计算，比较可得答案.
【详解】解：设，因为平面，所以，，，，
又底面是正方形，所以，，
对于A，；
对于B，

；
对于C，；
对于D，，
所以数量积最大的是，
故选：B.
2、C
【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的
3、D
【解析】把直线方程化为斜截式即得
【详解】直线方程的斜截式为，斜率为
故选：D
4、D
【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点代入，进而求得答案.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，将代入得：，即双曲线方程为.
故选：D.
5、A
【解析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率
【详解】设弦的两端点为，，
代入椭圆得
两式相减得，
即，
即，
即，
即，
弦所在的直线的斜率为，
故选:A
6、B
【解析】根据二项式定理求出答案即可.
【详解】的展开式中的系数是
故选：B
7、C
【解析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.
【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，
由题意可知过圆的圆心，
则，解得，点A坐标为，

，切点为B则，

故选:C
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
8、D
【解析】根据双曲线的定义及，，应用勾股定理，可得关系，即可求解.

【详解】设双曲线的右焦点为，连接,,,如图：

根据双曲线的对称性及可知，四边形为矩形.
设
因为，
所以，
又，
所以，
,
在和中，
，①
，②
由②化简可得，③
把③代入①可得：，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，勾股定理，属于难题.
9、A
【解析】由直线斜率与方向向量的关系算出斜率，然后可得.
【详解】记直线的倾斜角为，由题知，又，所以，即.
故选：A
10、B
【解析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，结合茎叶图判断可得；
【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，由茎叶图可知视力小于等于的有5人，
故选：B
11、D
【解析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.
【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.
故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.
故选：D.
12、B
【解析】先求导，再代入求值.
详解】，所以.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用裂项相消法求和即可.
【详解】解：因为，
所以.
故答案为：.
14、①②④
【解析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项①，②，④，利用平均值的计算方法，即可判断选项③
【详解】解：对于①，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项①正确；
对于②，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项②正确；
对于③，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项③错误；
对于④，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项④正确
故答案为：①②④
15、2
【解析】设切点，根据，可得，在中，利用余弦定理构造齐次式，从而可得出答案.
【详解】解：设切点，由，∴，
∵为中点，则为中位线，
∴，，
中，，

，，∴.
故答案为：2.

16、4
【解析】直接利用椭圆的定义即可求解.
【详解】因为椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，
所以.
故答案为：4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意得，，进而解方程即可得答案；
（2）根据题意设直线的方程，，，进而，再联立方程，结合韦达定理求解即可.
【小问1详解】
解：因为椭圆C：的离心率为，
所以，
因为椭圆上的点到左焦点最近的距离为，
所以
所以，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
解：根据题意，设直线的方程，，
设，
联立方程得，
所以，解得或.
，
所以的面积为
令，
则,
当且仅当，即时，等号成立.
所以当的面积取得最大值时，直线的方程为.
18、（1）证明见详解
（2）
【解析】（1）连接，交于点，则为中点，再由等腰三角形三线合一可知为中点，连接，利用中位线可知，根据直线与平面平行的判定定理即可证明；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出两平面所成角的余弦值.
【小问1详解】
连接，交于点，则为中点，
因为，于，则为中点，
连接，则，
又因为平面，平面,
所以平面；
【小问2详解】
如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则
，
设平面的一个法向量为，
由可得，
令，得，即，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
，
则平面与平面所成角的余弦值为.

19、（1）
（2）证明见解析，定点
【解析】（1）先判断出在椭圆上，再代入求椭圆方程；
（2）假设斜率存在，设出直线，利用斜率之和为，求出之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可.
【小问1详解】
由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上，从而在椭圆上，因此不在椭圆上，故在椭圆上，
将，代入椭圆的方程，解得，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
当直线斜率存在时，令方程为，
由得

所以得
方程为，过定点
当直线斜率不存在时，令方程为，
由，即解得
此时直线方程为，也过点
综上，直线过定点.
【点睛】本题关键点在于先假设斜率存在，设出直线，利用题目所给条件得到之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可，属于定点问题的常见解法，注意积累掌握.
20、（1）列联表见解析，有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联；
（2）X的分布列见解析，X的期望为
【解析】(1)根据给定条件完善列联表，再计算的观测值并结合给定数据即可作答.
(2)求出X的可能值及各个值对应的概率列出X的分布列，再计算期望作答.
【小问1详解】
对监管力度满意的有对食品质量满意的有，
列联表如下：

对监督力度满意
对监督力度不满意
总计
对食品质量满意
80
40
120
对食品质量不满意
70
10
80
总计
150
50
200
则的观测值为：，
所以有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联.
【小问2详解】
由(1)及已知得，X的所有可能值为：0，1，2，3，
，，，，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P

X的期望为：.
【点睛】易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释
21、（1答案见解析；
（2）应选择.
【解析】(1)由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解.
(2)分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答.
【小问1详解】
的可能取值为10，11，12，13，14，
，，
，，
，
则的分布列为：

10
11
12
13
14

0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
【小问2详解】记为当时购买零件所需费用，
，，
，，
元，
记为当时购买零件所需费用，
，，
，
元，显然，
所以应选择.
22、（1）；
（2）证明见解析
【解析】(1)根据题意列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c即可得椭圆方程；
(2)设直线的方程为，，，，，联立直线方程利用韦达定理即可求为定值
【小问1详解】
；
【小问2详解】
由椭圆方程可知，，，
设直线的方程为，，，，，
联立得，
∴，，则，
∵，，
∴，
把及代入可得：
﹒