2025-2026学年河南省西华县数学高二第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年河南省西华县数学高二第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且，则值是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点且，若的面积为9，则的值为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
3．若，则（）
A.1 B.2
C.4 D.8
4．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（ ）
A.2 B.3
C. D.
5．已知等差数列，，，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为
A.10 B.12
C.16 D.20
7．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误；③回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；④如果两个变量的线性相关程度越高，则线性相关系数就越接近于；其中错误说法的个数是（）
A. B.
C. D.
8．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）
A. B.
C D.
9．若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知是等比数列，则（ ）
A.数列是等差数列 B.数列是等比数列
C.数列是等差数列 D.数列是等比数列
11．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
12．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.规定成绩低于13秒为优，成绩高于14.8秒为不达标.由直方图推断，下列选项错误的是（）

A.直方图中a的值为0.40
B.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒
C由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为优的人数为54
D.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为不达标的人数为18
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过点，且周长最小的圆的标准方程为______
14．若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.
15．已知函数，则不等式的解集为____________
16．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线方程为；
②曲线上存在点，使得到点的距离为；
③曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离；
④曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：（）的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线不过点且与椭圆交于两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立.
①直线的斜率分别为，则；②直线过定点.
18．（12分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
19．（12分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
20．（12分）已知直线l的斜率为-2，且与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积等于1．圆C的圆心在第四象限，直线l经过圆心，圆C被x轴截得的弦长为4．若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求圆C的方程
21．（12分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.

（1）若长为，把蒙古包的体积表示为的函数；
（2）求蒙古包体积的最大值.
22．（10分）如图，已知抛物线 的焦点为，点是轴上一定点，过的直线交与两点.

（1）若过的直线交抛物线于，证明纵坐标之积为定值；
（2）若直线分别交抛物线于另一点，连接交轴于点.证明：成等比数列.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】求出向量，的坐标，利用向量数量积坐标表示即可求解.
【详解】因为向量，，
所以，，
因为，
所以，解得：，
故选：A.
2、C
【解析】根据椭圆定义，和条件列式，再通过变形计算求解.
【详解】由条件可知，
，
即，解得：.
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的定义，焦点三角形的性质，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
3、D
【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以.
故选：D.
4、A
【解析】设，则，解方程可得结果.
【详解】设，则且，
所以，所以，
所以，所以或（舍）.
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：设是解题关键.
5、A
【解析】求出通项，利用裂项相消法求数列的前n项和.
【详解】因为等差数列，，，
所以，
所以，

所以数列的前项和为
故B，C，D错误.
故选：A.
6、D
【解析】利用椭圆的定义即可得到结果
【详解】椭圆，
可得，
三角形的周长，，
所以：周长，
由椭圆的第一定义，，
所以，周长
故选D
【点睛】本题考查椭圆简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查
7、C
【解析】根据统计的概念逐一判断即可.
【详解】对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；
对于②从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误；故②正确；
对于③，线性回归方程必过样本中心点，回归直线不一定就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，也可能不过任何一个点；③不正确；
对于④，如果两个变量的线性相关程度越高，则线性相关系数就越接近于，不正确，应为相关系数的绝对值就越接近于；
综上，其中错误的个数是；
故选：C.
8、B
【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
则直线方程为，即.
故选：B.
9、D
【解析】应用两点式求直线斜率得，结合及，即可求的范围.
【详解】根据题意，直线经过，,，
∴直线的斜率，又，
∴，即，又，
∴；
故选：D
10、B
【解析】取，可判断AC选项；利用等比数列的定义可判断B选项；取可判断D选项.
【详解】若，则、无意义，A错C错；
设等比数列的公比为，则，（常数），
故数列是等比数列，B对；
取，则，数列为等比数列，
因为，，，且，
所以，数列不是等比数列，D错.
故选：B.
11、A
【解析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角
【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为
故选：A
12、D
【解析】根据频率之和为求得，结合众数、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，解得，A选项正确.
众数为，B选项正确.
成绩低于秒的频率为，人数为，所以C选项正确.
成绩高于的频率为，人数为人，D选项错误.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】方法一：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，由线段的中点为圆心，其长一半为半径求解； 方法二：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，根据以AB为直径的圆的方程求解.
【详解】方法一：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，
从而周长最小，即圆心为线段的中点，半径
则所求圆的标准方程为
方法二：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小
又，，
故所求圆的方程为，
整理得，
所以所求圆的标准方程为
14、
【解析】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为
故答案为：
15、
【解析】易得函数为奇函数，则不等式即为不等式，利用导数判断函数得单调性，再根据函数得单调性解不等式即可.
【详解】解：函数得定义域为R，
因为，所以函数为奇函数，
则不等式即为不等式，
，
所以函数在R上是增函数，
所以，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.
16、①④
【解析】设,根据满足,利用两点间距离公式化简整理，即可判断①是否正确；
由①可知，圆上的点到的距离的范围为,进而可判断②是否正确；
设，根据题意可知，再根据在曲线上，可得，由此即可判断③是否正确；由椭圆的的定义，可知在椭圆上，再根据椭圆与曲线的位置关系，即可判断④是否正确.
【详解】设,因为满足,所以,整理可得：,即,所以①正确；
对于②中,由①可知，点在圆的外部,因为到圆心的距离,半径为,所以圆上的点到的距离的范围为,而,所以②不正确；
对于③中,假设存在，使得到点的距离大于到直线的距离,
又，到直线的距离，
所以，化简可得，又，
所以，即，故假设不成立，故③不正确；
对于④中,假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为，则在以点与点为焦点，实轴长为的椭圆上，即在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为；所以④正确.
故答案为：①④.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）由条件可得，解出即可；
（2）选①证②，当直线的斜率存在时，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后由可算出，即可证明，选②证①，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后可算出.
【小问1详解】
由条件可得，解得
所以椭圆方程为
【小问2详解】
选①证②：当直线的斜率存在时，设：，
由得，则，
由得
即，即
所以
代入
所以
所以
解得：（舍去），
所以直线过定点
当直线斜率不存在时，设：
所以，由得
所以，即，解得
所以直线（不符合题意，舍去）
综上：直线过定点
选②证①：由题意直线的斜率存在，设：
由得
则，
所以
.
18、（1），；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,根据题意列出表达式，解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n项和，数列,分组求和即可.
解析：
(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴，
∴，，∴，.
(2)由(1)知，，∴，
∴.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由“”是“”的充分条件可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，
当时，即a≥时，则，
解得≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是.
20、
【解析】先根据题意设直线方程，由条件求出直线的方程，再根据条件列出等量关系，求出圆心和半径，进而求得答案.
【详解】解：设直线l的方程为y＝－2x＋b（b＞0），
它与两坐标轴的正半轴的交点依次为，，
因为直线l与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1，所以，
解得b＝2，
所以直线l的方程是，即
由题意，可设圆C的圆心为，半径为r，
又因为圆C被x轴截得的弦长等于4，所以①，
由于直线与圆相切，
所以圆心C到直线的距离②，
所以①②联立得：，解得：或，
又圆心在第四象限，所以，
则圆心，，
所以圆C方程是.
21、（1），其中.
（2）.
【解析】（1）利用柱体和椎体体积公式求得的函数表达式.
（2）利用导数求得体积的最大值.
【小问1详解】
正六边形的边长（0），
底面积，
于是，
其中.
【小问2详解】
，
，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，.
综上，当时，蒙古包体积最大，且最大体积为.
22、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）设直线方程为，联立抛物线方程用韦达定理可得；
（2）借助（1）中结论可得各点纵坐标之积，进而得到F、T、Q三点横坐标关系，然后可证.
【小问1详解】
显然过T的直线斜率不为0，设方程为，
联立，消元得到，
.
【小问2详解】
由（1）设，
因为AP与BQ均过T(t,0)点，可知，
又AB过F点，所以，如图：

，,设M(n，0）,
由（1）类比可得
.
，且，
成等比数列.