河北省景县中学2026届数学高二第一学期期末调研试题含解析.doc

河北省景县中学2026届数学高二第一学期期末调研试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知空间中四点，，，，则点D到平面ABC的距离为（ ）
A. B.
C. D.0
3．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是()
A. B.
C. D.
4．设，则的一个必要不充分条件为（ ）
A. B.
C. D.
5．直线的倾斜角是（）
A. B.
C. D.
6．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A.4 B.5
C.4或5 D.5或6
7．过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C.＋1 D.
8．已知两条直线：，：，且，则的值为( )
A.－2 B.1
C.－2或1 D.2或－1
9．过椭圆+ =1左焦点F1引直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是（ ）
A.20 B.18
C.10 D.16
10．若实数，满足约束条件，则的最小值为（）
A.-3 B.-2
C. D.1
11．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（）
A. B.
C. D.
12．抛物线的准线方程是，则a的值为（）
A.4 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的通项公式为，那么它的前项和___________.
14．设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则___________.
15．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____
16．如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.
18．（12分）在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为
（1）求边垂直平分线所在的直线的方程；
（2）若的面积为5，求点的坐标
19．（12分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：
间隔时间x/分
10
11
12
13
14
15
等候人数y/人
23
25
26
29
28
31
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.
（1）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程= x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.
（2）假设该起点站等候人数为24人，请你根据（1）中的结论预测车辆发车间隔多少时间合适?
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线= x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为
20．（12分）设数列的前项和，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前项和，求使成立的的最小值
21．（12分）已知函数f(x)=x-mlnx-m.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
22．（10分）在平面直角坐标系中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点，线段交于点，证明：是的中点
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据题意得到，，解得答案.
【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.
且渐近线经过点，故，故双曲线方程为：.
故选：.
【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.
2、C
【解析】根据题意，求得平面的一个法向量，结合距离公式，即可求解.
【详解】由题意，空间中四点，，，，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以点D到平面ABC的距离为.
故选：C.
3、C
【解析】利用新定义：存在使得，则称是的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的判断即可
【详解】对于A，，则，令，解得或，即有解，故选项A的函数有“巧值点”，不符合题意；
对于B，，则，令，令，则g(x)在x＞0时为增函数，∵(1)，(e)，由零点的存在性定理可得，在上存在唯一零点，即方程有解，故选项B的函数有“巧值点”，不符合题意；
对于C，，则，令，故方程无解，故选项C的函数没有“巧值点”，符合题意；
对于D，，则，
令，
则.
∴方程有解，故选项D的函数有“巧值点”，不符合题意
故选：C
4、C
【解析】利用必要条件和充分条件的定义判断.
【详解】A选项：，，，
所以是的充分不必要条件，A错误；
B选项：，，
所以是的非充分非必要条件，B错误；
C选项：，，，
所以是必要不充分条件，C正确；
D选项：，，，
所以是的非充分非必要条件，D错误.
故选：C.
5、A
【解析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由得：，则斜率，.
故选：A.
6、A
【解析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】由，即，解得，因为,故.
故选：A.
7、A
【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.
【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:

因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，
又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，
又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，
所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，
即a2＋4a2＝c2，所以e＝，
故选A.
【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.
8、B
【解析】两直线平行，倾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，据此即可求解.
【详解】：，：斜率不可能同时不存在，
∴和斜率相等，则或，
∵m＝－2时，和重合，故m＝1.
另解：，故m=1.
故选：B.
9、A
【解析】根据椭圆的定义求得正确选项.
【详解】依题意，
根据椭圆的定义可知，三角形的周长为.
故选：A
10、B
【解析】先画出可行域，由，作出直线向下平移过点A时，取得最小值，然后求出点A的坐标，代入目标函数中可求得答案
【详解】由题可得其可行域为如图，l：，当经过点A时，取到最小值，
由，得，即，
所以的最小值为
故选：B

11、A
【解析】设所求点的坐标为，由，逐一验证选项即可
【详解】设所求点的坐标为，则，
因为平面的一个法向量为，
所以，，
对于选项A，，
对于选项B，，
对于选项C，，
对于选项D，
故选：A
12、C
【解析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.
【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，
又准线方程是，所以，
所以.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题意知等差数列的通项公式，即可求出首项，再利用等差数列求和公式即可得到答案.
【详解】已知等差数列的通项公式为，..
故答案为：.
14、1
【解析】由点P在椭圆上，可得的值，再根据椭圆与双曲线有相同的焦点即可求解.
【详解】解：因为点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆方程为，

又椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，解得，
故答案为：1.
15、
【解析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.
【详解】正方形的面积为，如下图所示：

阴影部分的面积为: ，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.
【点睛】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.
16、
【解析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积
【详解】由已知可得
则
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】（1）根据焦距求出，利用面积最大值，得到求出，从而得到，求出椭圆方程；（2）分直线斜率存在和斜率不存在，结合题干条件得到，进而求出直线方程.
【小问1详解】
∵
∴，
又的面积最大值，则，所以，
从而，，故椭圆的方程为：；
【小问2详解】
①当直线的斜率存在时，设，
代入③整理得，
设、，则，
所以，
点到直线的距离
因为，即，
又由，得，所以，.
而，，即，
解得：，此时；
②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.
也有，经检验，上述直线均满足，
综上：直线的方程为或.
【点睛】圆锥曲线中，有关向量的题目，要结合条件选择不同的方法，一般思路有转化为三角形面积，或者线段的比，或者由向量得到共线等.
18、（1）；（2）或
【解析】（1）由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出的斜率，再用点斜式求直线的方程
（2）根据的面积为5，求得点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，求得的值
【详解】解：（1），，
的中点的坐标为，
又
设边的垂直平分线所在的直线的斜率为
则
，
可得的方程为，
即
边的垂直平分线所在的直线的方程
（2）边所在的直线方程为

设边上的高为即点到直线的距离为
且
解得
解得或，
点的坐标为或
19、（1），是“恰当回归方程”；
（2）10分钟较合适.
【解析】（1）应用最小二乘法求出回归直线方程，再分别估计、时的值，结合“恰当回归方程”的定义判断是否为“恰当回归方程”.
（2）根据（1）所得回归直线方程，将代入求x值即可.
【小问1详解】
中间4组数据是：
间隔时间（分钟）
11
12
13
14
等候人数（人）
25
26
29
28
因为，
所以，故，
又，所以，
当时，，而；
当时，，而；
所以所求的线性回归方程是“恰当回归方程” ；
【小问2详解】
由（1）知：当时，，
所以预测车辆发车间隔时间10分钟较合适.
20、 (1).(2)10
【解析】（1）借助于将转化为，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列的通项公式，可知数列为等比数列，求得前n项和，代入不等式可求得n的最小值
试题解析：（1）由已知，有，
即
从而
又因为成等差数列，即
所以，解得
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列
故
（2）由（1）得．所以
由，得，即
因为，
所以．于是，使成立的n的最小值为10
考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和
21、（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
【小问1详解】
函数的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
综上：当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
【小问2详解】
由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.
当时，在上上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
则，
由，解得，
由，解得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
即在上恒成立.
22、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）设点，求得到圆上的最小距离为，根据题意得到，整理即可求得曲线的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程组求得和，得到，结合抛物线的定义和方程求得，，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：设点，（其中），
由圆，可得圆心坐标为，
因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为，
又由到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，
可得，即，
整理得，即曲线的方程为
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，可得点为抛物线的交点，点为坐标原点，
点为抛物线的准线与轴的交点，显然满足是的中点；
当直线的斜率存在时，设直线的方程，
设，，，则，
联立方程组，整理得，
因为，且，
则，故，
由抛物线的定义知，
设，可得，所以，
又因为，所以，解得，所以，
因为在地物线上，所以，即，
所以，即是的中点