安徽定远县炉桥中学2025-2026学年数学高二上期末调研模拟试题含解析.doc

安徽定远县炉桥中学2025-2026学年数学高二上期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）
A.∀x∈R，|x|+x2<0 B.∀x∈R，|x|+x2≤0
C.∃x0∈R，|x0|+<0 D.∃x0∈R，|x0|+≥0
2．已知条件，条件表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
3．已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（）
A. B.
C4 D.
4．已知等比数列中，，，则该数列的公比为（）
A. B.
C. D.
5．平面上动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.抛物线
C.椭圆 D.圆
6．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为10，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数的导数为，且，则（）
A. B.
C.1 D.
10．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
11．设点是点，，关于平面的对称点，则（）
A.10 B.
C. D.38
12．已知直线l：的倾斜角为，则（）
A. B.1
C. D.－1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为则的值为__________

14．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；
②抛物线焦点坐标是；
③过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；
④曲线与曲线（且）有相同的焦点
其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号．）
15．在等比数列中，，则______
16．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线(的斜率存在)交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.
18．（12分）如图，在四面体ABCD中，，平面ABC，点M为棱AB的中点，，

（1）证明：；
（2）求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值
19．（12分）已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点
求椭圆C的方程；
若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点CD，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点
20．（12分）已知函数（a为常数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
21．（12分）设函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围
22．（10分）有1000人参加了某次垃圾分类知识竞赛，从中随机抽取100人，将这100人的此次竞赛的分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图.

（1）求图中a的值；
（2）估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；
（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
2、A
【解析】根据条件，求得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】因为条件表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得或，
所以条件是条件q： 或的充分不必要条件.
故选：A
3、A
【解析】由，可得，再计算即可求解.
【详解】由题意可知，所以，即.
故选：A
4、C
【解析】设等比数列的公比为，可得出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，可得出.
故选：C.
5、A
【解析】设点，利用距离公式化简可得出点的轨迹方程，即可得出动点的轨迹图形.
【详解】设点，由题意可得，
化简可得，即，曲线为反比例函数图象，
故动点的轨迹是双曲线.
故选：A.
6、C
【解析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】用表示这个数列，依题意，，则，，
第四个数即.
故选：C.
7、D
【解析】设直线倾斜角为，则，即可求出.
【详解】设直线的倾斜角为，则，又因为，所以.
故选：D.
8、A
【解析】由同角公式求出，根据三角形面积公式求出，根据余弦定理求出，根据正弦定理求出.
【详解】因为，所以，
因为，的面积为10，所以，故，
从而，解得，
由正弦定理得：.
故选：A.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，属于基础题.
9、B
【解析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.
【详解】由得，当时，，解得，所以，.
故选：B
10、B
【解析】由双曲线的渐近线方程以及即可求得离心率.
【详解】由已知条件得，
∴，∴，∴，∴，
故选：.
11、A
【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长
【详解】点是点，，关于平面的对称点，
的横标和纵标与相同，而竖标与相反，
，，，
直线与轴平行，
，
故选：A
12、A
【解析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m.
【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.
所以，解得：.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、9
【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为 可得 ，
乙组的平均数： ，解得： ，
则:
点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据
14、②④##④②
【解析】利用双曲线定义判断命题①；写出抛物线焦点判断命题②；分析点P满足的关系判断命题③；按取值讨论计算半焦距判断命题④作答.
【详解】对于①，因双曲线定义中要求，则命题①不正确；
对于②，抛物线化为：，其焦点坐标是，命题②正确；
对于③，令定圆C的圆心为C，因，则点P是弦AB的中点，当P与C不重合时，有，
点P在以线段AC为直径的圆上，当P与C重合时，点P也在以线段AC为直径的圆上，
因此，动点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除A点外)，则命题③不正确；
对于④，曲线的焦点为，
当时，椭圆中半焦距c满足：，其焦点为，
当时，双曲线中半焦距满足：，其焦点为，
因此曲线与曲线（且）有相同的焦点，命题④正确，
所以真命题的序号为②④.
故答案为：②④
【点睛】易错点睛：椭圆长短半轴长分别为a，b，半焦距为c满足关系式：；双曲线的实半轴长、
虚半轴长、半焦距分别为、、满足关系式：，在同一问题中出现认真区分，不要混淆.
15、
【解析】利用等比数列性质和通项公式可求得，根据可求得结果.
【详解】，又，，.
故答案为：.
16、证明过程见解析
【解析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立
则有，解得．所以
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：
设，则，
当时
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）是定值，定值为4
【解析】（1）根据正三角形性质与面积可求得即可求得方程；
（2）当直线斜率不为0时，设其方程代入椭圆方程利用韦达定理求得两根关系式，进而求得的表达式，最后求比值即可；当直线斜率为0时直接求解即可
【详解】（1）为正三角形，，可得，
且，∴椭圆的方程为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线斜率不为0时，设其方程为，且，
联立，消去得，
则，且，
∴弦的中点的坐标为，
则弦的垂直平分线为，
令，得，，
又
，
；
②当直线斜率为0时，则，，则.
综合①②得是定值且为4
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明平面ABD即可；
（2）以A为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，分别求得平面BCD的一个法向量和平面DCM的一个法向量，然后由求解
【小问1详解】
证明：∵平面ABC，
∴，
又，，
∴平面ABD，
∴
【小问2详解】
如图，

以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，
则，，，，，
依题意，可得，
设为平面BCD的一个法向量，
则，
不妨令，可得
设为平面DCM的一个法向量，
则，
不妨令，可得，
所以
所以平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为
19、（1）（2）（3）满足条件的直线不存在，详见解析
【解析】根据条件直接求出,进而求出椭圆标准方程;
设,表示出,求出其范围;
设CD的中点为;由,则;得到其斜率的乘积为,最后列取方程联立计算即可.
【详解】解：由题意可知,,则;
所以椭圆C的方程为:;
由题意可知,,设,
则,;
所以的取值范围是;
假设存在满足条件的直线,根据题意得直线的斜率存在;
则设直线的方程为：；
消化简得:;
,则;
；
设，则CD的中点为；
,；
，则;
，即;即,无解;
故满足条件的直线不存在
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,向量的数量积,直线的垂直,设而不求的思想方法,关键在于将几何条件进行适当的转化,还考查了学生的综合运算能力,属于中档题.
20、（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.
【解析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即得解；
（2）问题转化为，，，令，求出的最大值，从而求出的范围即得解
【详解】解：（1）函数的定义域为，，
①当时，，，，
在定义域上单调递增
②当时，若，则，在上单调递增；
若，则，在上单调递减
综上所述，当时，在定义域上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
2）当时，，
不等式在，上恒成立，
，，，
令，，，，
在，上单调递增，
（1），，
的范围为，
21、（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）.
【解析】（1）求出，进而判断函数的单调性，然后讨论符号后可得函数的单调区间；
（2）令，则有两个不同的零点，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，
记，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以单调递减区间为，单调递增区间为
【小问2详解】
令，得，记，
则，令得，列表得．
x

0

↘
极小值
↗
要使在上有两个零点，则，所以
且函数在和上各有一个零点
当时，，，，
则，故上无零点，
与函数在上有一个零点矛盾，故不满足条件
所以，又因为，所以考虑，
设，，则，则在上单调递减，
故当时，，
所以，且，
因为，所以，由零点存在定理知在和上各有一个零点
综上可知，实数a的取值范围为
【点睛】方法点睛：利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.
22、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.
【解析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出图中的值；
（2）先求出竞赛分数不少于70分的频率，由此能估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；
（3）由频率分布直方图的性质能估计总体1000人的竞赛分数的平均数
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得
图中的值为0.040
（2）竞赛分数不少于70分的频率为：，
估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数为
（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，
估计总体1000人的竞赛分数的平均数为：

【点睛】本题主要考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平