2026届江苏省无锡市天一中学数学高二上期末质量检测模拟试题含解析.doc

2026届江苏省无锡市天一中学数学高二上期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B.5
C. D.
2．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）
A. B.
C. D.
3．命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
4．已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值为
A. B.
C. D.
5．已知函数的导函数满足，则（）
A. B.
C.3 D.4
6．若公差不为0的等差数列的前n项和是，，且，，为等比数列，则使成立的最大n是（）
A.6 B.10
C.11 D.12
7．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A.2 B.
C. D.8
8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则平分
C.若，则 D.若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线
9．在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆和圆引切线，记切线长分别为．则的最小值为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
10．直线的倾斜角是（）
A. B.
C. D.
11．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为（ ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
12．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知球的表面积是，则该球的体积为________.
14．在等比数列中，，则______
15．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.
16．下列命题：
①若，则；
②“在中，若，则”逆命题是真命题；
③命题“，”的否定是“，”；
④“若，则”的否命题为“若，则”.
则其中正确的是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线和直线
（1）若时，求a的值；
（2）当平行，求两直线，的距离
18．（12分）在中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（1）求角A
（2）若，，求的面积
19．（12分）如图，在四棱锥中中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20．（12分）在等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n值
21．（12分）已知抛物线的焦点为F，直线l过点
（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值
22．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求C；
（2）若，求的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据渐近线方程求得关系，结合离心率的计算公式，即可求得结果.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则；
又双曲线离心率.
故选：D.
2、A
【解析】方程即，表示抛物线，
方程表示椭圆或双曲线，
当和同号时，抛物线开口向左，
方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项；
当和异号时，抛物线开口向右，
方程表示双曲线，
本题选择A选项.
3、C
【解析】特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C
4、C
【解析】根据题意可知，结合的条件，可知，故选C
考点：椭圆和双曲线性质
5、C
【解析】先对函数求导，再由，可求出的关系式，然后求
【详解】由，得，
因为，
所以，
所以，
故选：C
6、C
【解析】设等差数列的公差为d，根据，且，，为等比数列，求得首项和公差，再利用前n项和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，且，，为等比数列，
所以，
解得或（舍去），
则，
所以，
解得，
所以使成立的最大n是11，
故选：C
7、C
【解析】由斜二测还原图形计算即可求得结果.
【详解】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，，可得，.
还原原图形如图：则，则
.
故选：C

8、D
【解析】根据求出焦点为、点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，由两点间的距离公式求出可判断AC；
时可得，．由可判断B；
求出点坐标可判断D.
【详解】如图，若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，整理得，与抛物线方程联立得
，解得或，所以，
所以，选项A错误；

时，因为，所以．又，
，所以不平分，选项B不正确；

若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，所以，
所以，选项C错误；

若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，所以，直线的方程为，延长交直线于点D，所以则，
所以D，B，N三点共线，选项D正确；

故选： D.
9、D
【解析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解.
详解】，圆心，半径
，圆心，半径
设点P，
则
，
即到与两点距离之和的最小值，
当三点共线时，的和最小，
即的和最小值为.
故选：D
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.
10、A
【解析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由得：，则斜率，.
故选：A.
11、B
【解析】先判断出原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题同真或同假最终得到答案.
【详解】“若a=0，则ab=0”，命题为真，则其逆否命题也为真；
逆命题为：“若ab=0，则a=0”，显然a=1，b=0时满足ab=0，但a≠0，即逆命题为假，则否命题也为假.
故选：B.
12、B
【解析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF，BK，然后求解三角形的面积即可
【详解】如图，设拋物线的准线为，过作于，过作于，过作于，
设，则根据抛物线的定义可得，
，，
的面积为，
故选：.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.
【详解】设球的半径为r，则表面积，
解得，
所以体积，
故答案为：
【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.
14、
【解析】利用等比数列性质和通项公式可求得，根据可求得结果.
【详解】，又，，.
故答案为：.
15、
【解析】设点，根据抛物线的定义表示出，将用表示，并逐步转化为一个基本不等式形式，从而求出取最小值时的点的坐标，再根据双曲线的定义及离心率的公式求值.
【详解】由题意可得，，，抛物线的准线为，
设点，根据对称性，不妨设，
由抛物线的定义可知，又，
所以
，
当且仅当时，等号成立，此时，
设以为焦点的双曲线方程为，
则，
即，
又，，
所以离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将的坐标表达式逐渐转化为一个可以用基本不等式求最值的式子，从而找出取最小值时的点的坐标.
16、②③④
【解析】根据不等式的性质，正弦定理与四种命题的概念，命题的否定，判断各命题
【详解】①，满足，但，①错；
②在中，由正弦定理，因此其逆命题也是真命题，②正确；
③存在命题的否定是全称命题，命题“，”的否定是“，”，③正确；
④由否命题的概念，“若，则”的否命题为“若，则”，④正确
故答案为：②③④

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.
（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.
【小问1详解】
∵，且，
∴，
解得
【小问2详解】
∵，，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直线间的距离为
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.
【小问1详解】
，
由正弦定理知，，
即
又，且．所以，
由于．所以；
【小问2详解】
由余弦定理得：，

又，所以
所以.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据平面得到，结合得到证明。
（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面的法向量，根据向量的夹角公式得到答案。
【小问1详解】
由于平面，平面，所以，
由于，又，所以平面
【小问2详解】
两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

，，，，，
设平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，
由，得，故可取
所以
所以二面角的平面角的余弦值
20、（1）；（2）当或11时，最大值为55.
【解析】（1）根据等差数列的通项公式得方程组，解这个方程组得公差和首项，从而得数列的通项公式n.
（2）等差数列的前项和是关于的二次式，将这个二次式配方即可得最大值.
【详解】（1）由题设，故（舍，此时）或.
故，故.
（2）由（1）可得，
因为，对称方程为，故当或时，取最大值，
此时最大值为.
21、（1）（2）证明见详解.
【解析】（1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；
（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明.
【详解】（1）由条件知直线l的斜率存在，设为，
则直线l的方程为：，
即
从而焦点到直线l的距离为，
平方化简得：，
故直线斜率为：.
（2）证明：设直线AB的方程为，
联立抛物线方程，消元得：
设，，
线段AB的中点为，
故
因为，
将M点坐标代入后整理得：

即可得：
故为定值．即证.
【点睛】本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C的大小.
（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求最大值.
【小问1详解】
由，得，即，
由余弦定理得：，又，所以
【小问2详解】
由（1）知：，则，
设△ABC外接圆半径为R，则，
当时，取得最大值为