2025年江苏扬州市邗江区公道中学数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025年江苏扬州市邗江区公道中学数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，椭圆的右焦点为，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
2．已知向量，，若，则
A.1 B.
C. D.2
3．下列函数是偶函数且在上是减函数的是　　
A. B.
C. D.
4．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为
A. B.
C. D.
5．已知点是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（ ）
A.与双曲线的实轴长相等
B.的面积为
C.双曲线的离心率为
D.直线是双曲线的一条渐近线
6．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）

A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
7．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
9．下列导数运算正确的是（）
A. B.
C. D.
10．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.0条
11．已知等比数列的前n项和为，且，则（）
A.20 B.30
C.40 D.50
12．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为__________.
14．已知数列满足，，的前项和为，则______.
15．已知向量,,并且、共线且方向相同,则______.
16．曲线在点处的切线方程为_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）解不等式;
（2）若不等式对恒成立,求实数m的取值范围
18．（12分）若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.
（1）求a，b的值；
（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.
19．（12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.

（1）求点C到平面的距离；
（2）线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.
20．（12分）已知点在抛物线（）上，过点A且斜率为1直线与抛物线的另一个交点为B
（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；
（2）求弦长
21．（12分）求满足下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；
（2）焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为
22．（10分）已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.
（1）求的方程；
（2）是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】连结，设，则，，由可求出，进而可求出，得出椭圆方程.
【详解】由题意设椭圆的方程：，设左焦点为，
连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，

由得，
又，
设，则，，
又，解得，
又由，，
解得，，，
则椭圆的方程为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量，，.
2、B
【解析】由向量平行，先求出的值，再由模长公式求解模长.
【详解】由，则，即
则，所以
则
故选：B
3、C
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，为一次函数，不是偶函数，不符合题意；
对于B，，，为奇函数，不是偶函数，不符合题意；
对于C，，为二次函数，是偶函数且在上是减函数，符合题意；
对于D，，，为奇函数，不是偶函数，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题
4、B
【解析】根据题意，椭圆的标准方程为，其中则，
则有|F1F2|=2，若a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，则|PF2|=6-|PF1|=2，
则cos∠F1PF2==.
故选B
5、B
【解析】由题意及双曲线的定义可得，的值，进而可得A不正确，计算可判断B正确，再求出，的关系可得C不正确，求出，的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确
【详解】因为，又由题意及双曲线的定义可得：，
则，，所以A不正确；
因为在以为直径的圆上，所以，
所以，所以B正确；
在△中，由勾股定理可得，
即，所以离心率，
所以C不正确；
由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为，
即，所以D不正确；
故选：B
6、D
【解析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.
【详解】因为到直线的距离等于到点的距离，
所以到直线的距离等于到点的距离，
所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线
故选：D
7、B
【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.
【详解】令公差为，则，解得，
所以，
当时，取最大值.
故选：B
8、B
【解析】构造利用导数判断函数在上单调递减，利用单调性比较大小
【详解】设恒成立，
函数在上单调递减，
.
故选：B
9、B
【解析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解
【详解】选项A，，错误；
选项B，，正确；
选项C，，错误；
选项D，，错误
故选：B
10、B
【解析】过的直线的斜率存在和不存在两种情况分别讨论即可得出答案.
【详解】易知过点，且斜率不存在的直线为，满足与抛物线只有一个公共点.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，与联立得，
当时，方程有一个解，即直线与扰物线只有一个公共点.
故满足题意的直线有2条.
故选：B
11、B
【解析】利用等比数列的前n项和公式即可求解.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，则
，由得，
即，解得或（舍），
且代入①得，则，
所以.
故选：B.
12D
【解析】根据空间直线与平面间的位置关系判断
【详解】若，，也可以有，A错；
若，，也可以有，B错；
若，，则或，C错；
若，，则，这是线面垂直的判定定理之一，D正确
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】先求出的范围，再利用面积公式可求面积的最大值.
【详解】圆即为，
直线为过原点的直线，如图，连接，

故，解得，
此时，故的面积为，
当且仅当时等号成立，此时即，
故答案为：.
14、
【解析】分析出当为正奇数时，，可求得的值，再分析出当为正偶数时，，可求得的值，进而可求得的值.
【详解】由题知，当为正奇数时，，
于是,，，，，
所以.
又因为当为正偶数时，，且，
所以两式相加可得，于是，
两式相减得.
所以，故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于分析出当为正奇数时，，以及当为正偶数时，，找出规律，结合并项求和法求出以及的值.
15、4
【解析】根据空间向量共线基本定理,可设.由坐标运算求得的值,进而求得.即可求得的值.
【详解】根据空间向量共线基本定理,可设
由向量的坐标运算可得
解方程可得
所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了空间向量共线基本定理的应用,根据向量的共线定理求参数,属于基础题.
16、
【解析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可.
【详解】，曲线在点处的切线方程为，即
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)移项,两边平方即可获解;
(2)利用绝对值不等式即可.
【小问1详解】
即
即,即
即即或
所以不等式的解集为
【小问2详解】
由题知对恒成立
因为.
所以,解得
即或,所以实数的取值范为
18、（1）
（2）
【解析】（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出；
（2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出.
【小问1详解】
令，则，
则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，
对称轴，开口向上，
则，解得；
【小问2详解】
令，则，于是方程可变为，即，
因为函数在单调递减，在单调递增，
且，
要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以.
19、（1）
（2）存在，1
【解析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面向量的法向量和相应点的坐标，利用点面距离公式即可求得点面距离
（2）假设满足题意的点存在且满足，由题意得到关于的方程，解方程即可确定满足题意的点是否存在
【小问1详解】
解：如图所示，取中点，连结，，
因为三角形是等腰直角三角形，所以，
因为面面，面面面，所以平面，又因为，所以四边形是矩形，可得，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，则：

据此可得，
设平面的一个法向量为，
则，令可得，
从而，又，
故求点到平面的距离
【小问2详解】
解：假设存在点，，满足题意，
点在线段上，则，
即：，，，，，
据此可得：，，从而，，，，
设与平面所成角所成的角为，
则，
整理可得：，
解得：或（舍去）
据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即
20、（1），焦点坐标
（2）
【解析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，进而可得抛物线的焦点坐标；
（2）写出直线的方程，联立直线与抛物线方程求得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可求解.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，所以，即
所以抛物线的方程为，焦点坐标为；
【小问2详解】
由已知得直线方程为，即
由得，解得或
所以，则
21、（1）
（2）
【解析】（1）（2）直接由条件解出即可得到双曲线方程.
【小问1详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：
【小问2详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：
22、（1）；
（2）存在，理由见解析.
【解析】（1）根据题意，列出的方程组，解得，则椭圆方程得解；
（2）假设存在点满足题意，设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理以及，即可求解.
【小问1详解】
双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；
对双曲线，令，解得，则，解得，
故双曲线方程为：.
小问2详解】
根据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，
若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，
可得，则，
即，此时直线与双曲线交于两点，
则，则，
即，即，
则，此时满足题意；
若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.
综上所述，存在轴上的一点满足.
【点睛】本题考察双曲线方程的求解，以及双曲线中存在某点满足条件的问题；解决问题的关键是合理转化，利用韦达定理进行求解，属综合中档题.