2025-2026学年广东省佛山市南海区石门中学高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025-2026学年广东省佛山市南海区石门中学高二数学第一学期期末联考模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过双曲线Ω：(a＞0b＞0)右焦点F作x轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于2，其中A为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为(　　)
A.(1,3) B.(3，＋∞)
C.(1,) D.(，＋∞)
2．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A. B.
C D.
3．两条平行直线与之间的距离为（ 　）
A. B.
C. D.
4．已知是等比数列，，，则（）
A. B.
C. D.
5．有下列四个命题，其中真命题是（）
A.， B.，，
C.，， D.，
6．曲线：在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
7．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率（）
A. B.
C. D.
8．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（ ）
A.1 B.e
C.－1 D.
9．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）

A.
B.
C.
D.
10．已知抛物线的焦点为F，过点F作倾斜角为的直线l与抛物线交于两点，则POQ(O为坐标原点)的面积S等于（）
A. B.
C. D.
11．已知空间向量，，且与互相垂直，则k的值是（）
A.1 B.
C. D.
12．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.点为上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线的斜率之积大于，则的离心率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的焦点为，点在上，且，则______
14．椭圆的两焦点为，，P为C上的一点（P与，不共线），则的周长为______.
15．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________.
16．设双曲线C: 的焦点为，点为上一点，，则为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率e是方程的一根
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O是坐标原点，斜率为k的直线l经过点，已知直线l与椭圆C相交于点A，B，求面积的最大值
18．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点
（1）求a的取值范围；
（2）设的两个极值点分别为，证明：
19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为
（1）求a；
（2）若D为BC边上一点，且∠BAD=，求∠ADC的正弦值
20．（12分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.
（1）求椭圆G方程；
（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
21．（12分）如图1，在中，，，，分别是，边上的中点，将沿折起到的位置，使，如图2

（1）求点到平面距离；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．若存在，求出长；若不存在，请说明理由
22．（10分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）若，，，求边长c；
（2），，，求角C.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】求点A和M的坐标，进而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，从而可解得离心率的范围.
【详解】F(c,0)，设M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，
由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，
又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，
即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.
答案：B
【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
2、B
【解析】构造函数，可知函数为奇函数，利用导数分析出函数在上的单调性，并得出，然后分别在和解不等式，由此可得出不等式的解集.
【详解】构造函数，该函数的定义域为，
由于函数为上的奇函数，则，
所以，函数为上的奇函数，且，，.
当时，，
此时，函数单调递增，由，可得，解得；
当时，则函数单调递增，由，可得，解得.
综上所述，使得成立的的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3、D
【解析】由已知有，所以直线可化为，利用两平行直线距离公式有 ，选D.
点睛：本题主要考查两平行直线间的距离公式，属于易错题．在用两平行直线距离公式时，两直线中的系数要相同，不然不能用此公式计算
4、D
【解析】由，，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案
【详解】由题得.
所以，
所以.
所以，所以数列是一个等比数列.
所以=.
故选：D
5、B
【解析】对于选项A，令即可验证其不正确；对于选项C、选项D，令，即可验证其均不正确，进而可得出结果.
【详解】对于选项A，令，则，故A错；
对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；
对于选项C，令，则显然无解，故C错；
对于选项D，令，则显然不成立，故D错.
故选B
【点睛】本题主要考查命题真假的判定，用特殊值法验证即可，属于常考题型.
6、A
【解析】因为，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率为，
所以切线方程为 ，即，选A
7、A
【解析】先根据前三项的系数成等差数列求，再根据古典概型概率公式求结果
【详解】因为前三项的系数为，
，
，
当时，为有理项，从而概率为.
故选：A.
8、D
【解析】设出点坐标，结合导数列方程，由此求得切点坐标并求得切线的斜率.
【详解】设切点为，，故在点的切线的斜率为，
所以，
所以切点为，切线的斜率为.
故选：D
9、D
【解析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案
【详解】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线
A：，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误
B：，将0代入，此时导数为，不为，故B错误；
C：，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错误；
D：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故D正确；
故选：D.
10、A
【解析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意设直线的方程，与抛物线的方程，联立求出两根之和及两根之积，进而求出，的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式求出面积
【详解】抛物线的焦点为，，
由题意可得直线的方程为，设，，，，
联立，整理可得：，
则，，
所以，
所以，
故选：A
11、D
【解析】由＝0可求解
【详解】由题意
，

故选：D
12、A
【解析】设，求得，得到，求得，结合，即可求解.
【详解】由椭圆的方程，可得，
设，则，
由
，
因为四条直线的斜率之积大于，即，所以，
则离心率，
又因为椭圆离心率，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由抛物线的焦半径公式可求得的值.
【详解】抛物线的准线方程为由抛物线的焦半径公式可得，解得.
故答案为：.
14、
【解析】结合椭圆的定义求得正确答案.
【详解】椭圆方程为，所以，
所以三角形的周长为.
故答案为：
15、3
【解析】利用抛物线的定义，再结合图形即求.
【详解】由题可得抛物线的准线为，
设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，

∴要求取得最小值，即求取得最小，
当三点共线时最小，为.
故答案为：3.
16、14
【解析】利用双曲线的定义求解即可
【详解】由，得，则，
因为点为上一点，
所以，
因为，所以，
解得或（舍去），
故答案为：14

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）待定系数法求椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，，，用“设而不求法”表示出三角形OAB的面积.令转化为关于t的函数，利用函数求最值.
【详解】（1）依题意得：，∴.
方程的根为或.
∵椭圆的离心率，∴，∴
∴
∴椭圆方程为.
（2）设直线的方程为，，
由，得，
则，
点到直线的距离为，

.
令，则.
.
∵在单调递增，
∴时.有最小值3.此时有最大值.
∴面积的最大值为.
18、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)对函数求导，把问题转化为导函数值为0的方程有两个正根，再构造函数求解作答.
(2)将所证不等式等价转化，构造函数，利用导数探讨其单调性作答.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得：，
依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有两个不等的正根，
令，，则，当时，，当时，，
于是得在上单调递增，在上单调递减，，
因，恒成立，即当时，的值从递减到0(不能取0)，又，
有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，

因此有，
所以a取值范围是.
【小问2详解】
由(1)知分别是方程的两个不等的正根，，
即，作差得，则有，
原不等式，
令，则，于是得，
设，则，
因此，在单调递增，则有，即成立，
所以.
点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
19、（1）
（2）
【解析】（1）利用面积公式及余弦定理可求解；
（2）由正弦定理得到，再运用同角函数的关系得到，最后运用正弦的两角和公式求解即可.
【小问1详解】
∵，，，
∴
由余弦定理：，∴
【小问2详解】
在中，由正弦定理得，∴，
易知B为锐角，∴，
∴
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；
（2）设l的方程为，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据得到，即得直线l的方程.
【小问1详解】
解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.
因为点在G上，所以，
所以，.
所以椭圆G的方程是.
【小问2详解】
解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，
将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，
则，.
因为，所以，则，即，
由，得，.
所以，解得，即，
所以直线l的方程为.
21、（1）
（2）存在，
【解析】（1）根据题意分别由已知条件计算出的面积和的面积，利用求解，
（2）如图建立空间直角坐标系，设，然后求出平面与平面的法向量，利用向量平夹角公式列方程可求得结果
【小问1详解】
在中，，因为，分别是，边上的中点，
所以∥，，
所以，
所以，
因为，所以平面
所以平面，
因为平面，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以是等边三角形，
取的中点，连接，则，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
在中，，
所以边上的高为，
所以，
在梯形中，，
设点到平面的距离为，
因为，所以，
所以，得，
所以点到平面的距离为
【小问2详解】
由（1）可知平面，，
所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
设，则
，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
则平面与平面夹角的余弦值为
，
两边平方得，，
解得或（舍去），
所以，所以

22、（1）
（2）或
【解析】（1）根据余弦定理可求得答案；
（2）根据正弦定理和三角形的内角和可求得答案.
【小问1详解】
解：由余弦定理得：
，
所以.
【小问2详解】
解：由正弦定理得：得，
所以或120°，
又因为，所以，
所以或
即或.