贵阳市重点中学2026届高二上数学期末检测模拟试题含解析.doc

贵阳市重点中学2026届高二上数学期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线准线方程为 (　　)
A. B.
C. D.
2．数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（ ）

A.153 B.190
C.231 D.276
3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A.440 B.330
C.220 D.110
4．已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
5．下列函数的求导正确的是（）
A. B.
C. D.
6．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为（ ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
7．某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是
A.总体是：1100名同学的总成绩 B.个体是：每一名同学
C.样本是：50名同学的总成绩 D.样本容量是：50
8．（）
A. B.
C. D.
9．已知双曲线C：的渐近线方程是，则m＝（）
A.3 B.6
C.9 D.
10． “椭圆的离心率为”是“”的（）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
11．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量 是　　
A. B.
C. D.
12．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.对于图2.下列结论正确的是（ ）

①这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形；②若，，则；③若，则；
④若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的7倍.
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与直线平行，则实数m的值为____________
14．关于曲线，则以下结论正确的个数有______个
①曲线C关于原点对称；
②曲线C中，；
③曲线C是不封闭图形，且它与圆无公共点；
④曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形
15．椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是___________.
16．若无论实数取何值，直线与圆恒有两个公共点，则实数的取值范围为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）平面直角坐标系中，曲线与坐标轴交点都在圆上.
（1）求圆的方程；
（2）圆与直线交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由.
18．（12分）王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.
（1）求证：数列{-5000}为等比数列；
（2）如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？
19．（12分）已知圆，直线过定点.
（1）若与圆相切，求的方程；
（2）若与圆相交于两点，且，求此时直线的方程.
20．（12分）已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值
21．（12分）如图所示，四棱锥的底面为矩形，，，过底面对角线作与平行的平面交于点

（1）求二面角的余弦值；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正弦值
22．（10分）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由抛物线的准线方程即可求解
【详解】由抛物线方程得：．所以，
抛物线的准线方程为
故选D
【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程，属于基础题
2、B
【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，，，，，，，据此即可求解.
【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...
所以，，，
，，，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.
3、A
【解析】由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
Ⅱ卷
4、A
【解析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.
【详解】对直线，变形为，故其恒过定点，
若直线存在点P，满足，只需直线与线段有交点即可.

数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最大值，此时，对应倾斜角；
当直线过点时，其斜率取得最小值，此时，对应倾斜角为.
根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线的倾斜角的范围为：.
故选：A.
5、B
【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B
6、B
【解析】先判断出原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题同真或同假最终得到答案.
【详解】“若a=0，则ab=0”，命题为真，则其逆否命题也为真；
逆命题为：“若ab=0，则a=0”，显然a=1，b=0时满足ab=0，但a≠0，即逆命题为假，则否命题也为假.
故选：B.
7、B
【解析】采用逐一验证法，根据总体，个体，样本的概念，可得结果.
【详解】据题意：
总体是1100名同学的总成绩，故A正确
个体是每名同学的总成绩，故B错
样本是50名同学的总成绩，故C正确
样本容量是：50，故D正确
故选：B
【点睛】本题考查总体，个体，样本的概念，属基础题.
8、B
【解析】根据微积分基本定理即可直接求出答案.
【详解】
故选：B.
9、C
【解析】根据双曲线的渐近线求得的值.
【详解】依题意可知，
双曲线的渐近线为，
所以.
故选：C
10、C
【解析】讨论椭圆焦点的位置，根据离心率分别求出参数m，由充分必要性的定义判断条件间的充分、必要关系.
【详解】当椭圆的焦点在轴上时，，得；
当椭圆的焦点在轴上时，，得
故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件
故选：C.
11、C
【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论
【详解】解：

故选：

【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题
12、A
【解析】对于①，由三角形大边对大角的性质分析，对于②，根据题意利用正弦定理分析，对于③，利用余弦定理分析，对于④，利用三角形的面积公式分析判断
【详解】对于①，根据题意，图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，故，，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故①正确；
对于②，由题知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因为，所以，故②正确；
对于③，不妨设，所以在中，由余弦定理得，代入数据得，所以，所以，故③错误；
对于④，若是的中点，则，
所以，故④正确.
故选：A
第II卷（非选择题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可
【详解】解：因为直线与直线平行，
所以，
解得
故答案为：
14、2
【解析】根据曲线的方程，以及曲线的对称性、范围，结合每个选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】①将方程中的分别换为，方程不变，故该曲线关于原点对称，故正确；
②因为，解得或，故，
同理可得：，故错误；
③根据②可知，该曲线不是封闭图形；
联立与，可得：，将其视作关于的一元二次方程，
故，所以方程无根，故曲线与没有交点；
综上所述，③正确；

④假设曲线C与曲线有4个交点且交点构成正方形，
根据对称性，第一象限的交点必在上，
联立与可得：，故交点为，
而此点坐标不满足，所以这样的正方形不存在，故错误；
综上所述，正确的是①③.
故答案为：.
【点睛】本题考察曲线与方程中利用曲线方程研究曲线性质，处理问题的关键是把握由曲线方程如何研究对称性以及范围问题，属困难题.
15、
【解析】根据椭圆和双曲线得定义求得，再根据，可得，从而有，求出的范围，根据，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：设，
则有，
所以，即，
又因为，所以，
所以，即，则，
由，得，所以，所以，
则，
由，得，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
因为，所以，所以，
即，
所以的取值范围是.
故答案为：.

16、
【解析】根据点到直线的距离公式得到，根据，解不等式得到答案.
【详解】依题意有圆心到直线的距离，即，
又无论取何值，，故，故.
故答案：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在，直线方程为或.
【解析】（1）利用待定系数法即求；
（2）利用直线与圆的位置关系可得，然后利用菱形的性质可得圆心到直线的距离，即得.
【小问1详解】
曲线与轴的交点为，与轴的交点为，，
设圆的方程为，
则，
解得.
∴圆的方程为；
【小问2详解】
∵圆与直线交于，两点，
圆化为，圆心坐标为，半径为.
∴圆心到直线的距离，解得.
假设存在点，使得四边形为菱形，则与互相平分，
∴圆心到直线的距离，
即，解得，经验证满足条件.
∴存在点，使得四边形为菱形，此时的直线方程为或.
18、（1）证明见解析
（2）足够
【解析】（1）由题意可得出递推关系，变形后利用等比数列的定义求证即可；
（2）由（1）利用等比数列的通项公式求出，再求出，再计算即可得出结论.
【小问1详解】
依题意，第1个月底股票市值

则
又
∴数列是首项为1200，公比为1.2的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知
∴
∵，所以王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的.
19、（1）或；
（2）或.
【解析】（1）由圆的方程可得圆心和半径，当直线斜率不存在时，知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得方程；
（2）当直线斜率不存在时，知与圆相切，不合题意；当直线斜率存在时，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得方程.
【小问1详解】
由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在，即时，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设，即，
圆心到直线距离，解得：，
，即；
综上所述：直线方程为或；
【小问2详解】
当直线斜率不存在，即时，与圆相切，不合题意；
当直线斜率存在时，设，即，
圆心到直线距离，
，解得：或，
直线的方程为或.
20、（1）
（2）周长是定值，且定值为4
【解析】（1）首先求出直线与轴的交点，即可求出，再根据离心率求出，最后根据求出，即可得解；
（2）：设直线的方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦的长，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到，再求出、，最后根据计算即可得解；
【小问1详解】
解：因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，
又，可得：，由，所以，
∴椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解
解：设直线的方程为，
由得：，
所以，
设，，则：
，
所以

.
因为直线与圆相切，所以，即，
所以，
因为，
又，
所以，
同理.
所以
，
即的周长是定值，且定值为4
21、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）设，连接、，证明出平面，推导出为的中点，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；
（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值；
（3）利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
解：设，则为、的中点，连接、，
因为平面，平面，平面平面，则，
因为为的中点，则为的中点，
因为，为的中点，则，同理可证，
，平面，
，，则，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
易知平面的一个法向量为，.
由图可知，二面角的平面角为锐角，
因此，二面角的余弦值为.
【小问2详解】
解：，，
，
因此，与所成角的余弦值为.
【小问3详解】
解：，，
因此，与平面所成角的正弦值为.
22、（1）极大值为，无极小值
（2）
【解析】（1）求函数的导数，根据导数的正负判断极值点，代入原函数计算即可；
（2）将变形，即对恒成立，然后构造函数，利用求导判定函数的单调性，进而确定实数a的取值范围..
【小问1详解】
对函数求导可得： ,
可知当时，时，，
即可知在上单调递增，在上单调递减
由上可知，的极大值为，无极小值
【小问2详解】
由对恒成立,
当时，恒成立；
当时，对恒成立,
可变形为：对恒成立,
令，
则;
求导可得：

由（1）知即恒成立，
当时，，则在上单调递增;
又，
因，故，，
所以在上恒成立，
当时，令，得，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
从而可知的最大值为，即 ，
因此，对都有恒成立，
所以，实数a的取值范围是.