广西来宾市2025年数学高二上期末监测模拟试题含解析.doc

广西来宾市2025年数学高二上期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆的一个焦点坐标为，则（ ）
A.2 B.3
C.4 D.8
2．圆与圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.内含

C.相切 D.相交
3．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（）
A.108里 B.96里
C.64里 D.48里
4．已知等差数列中，、是的两根，则（）
A B.
C. D.
5．已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）
A.2 B.5
C.1 D.0
6．下列问题中是古典概型的是
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
7．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测．把这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）
A.076 B.122
C.390 D.522
8．已知圆，则圆C关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．①直线在轴上的截距为；②直线的倾斜角为；③直线必过定点；④两条平行直线与间的距离为.以上四个命题中正确的命题个数为（）
A. B.
C. D.
10．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是 （ ）
A. B.
C. D.
11．已知是虚数单位，若复数满足，则（）
A. B.2
C. D.4
12．正方体中，E、F分别是与的中点，则直线ED与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，若，则点到平面的距离为___________.

14．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .

15．双曲线的左焦点到直线的距离为________.
16．椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_____

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，，其中
（1）已知，若为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
18．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，已知直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求的值.
19．（12分）等差数列中，首项，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
20．（12分）如图，在四面体ABCD中，，平面ABC，点M为棱AB的中点，，

（1）证明：；
（2）求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值
21．（12分）已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若点，求过点的圆的切线方程.
22．（10分）已知等比数列的公比，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，若，求满足条件的最大整数n.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由条件可得，，，，由关系可求值.
【详解】∵椭圆方程为：，
∴，
∴，，
∵椭圆的一个焦点坐标为，
∴，又，
∴，
∴ ，
故选：D.
2、D
【解析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.
【详解】圆的圆心为 ，半径为
圆的圆心为 ，半径为
两圆心间的距离为
由，所以两圆相交.
故选：D
3、B
【解析】根据题意，记该人每天走的路程里数为，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由求得首项即可
【详解】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为，则数列是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即，则有，解可得：，故选：B.
【点睛】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用.
4、B
解析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值，再结合等差中项的性质可求得结果.
【详解】对于方程，，
由韦达定理可得，故，则，
所以，.
故选：B.
5、C
【解析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解.
【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中，
由，可得，则切线的斜率为，
由，可得，则切线斜率为，
因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，
所以，解得或（舍去），
又由，即公共点的坐标为，
将点代入，可得.
故选：C.
6、D
【解析】A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．故选D
【考点】古典概型的判断
7、B
【解析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.
【详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，
则需要分为组，每组人；
设第组抽取的编号为，故可设，
又第一组抽中号，故可得，解得
故，
当时，.
故选：.
8、B
【解析】求得圆的圆心关于直线的对称点，由此求得对称圆的方程.
【详解】设圆的圆心关于直线的对称点为，
则，
所以对称圆的方程为.
故选：B
9、B
【解析】由直线方程的性质依次判断各命题即可得出结果.
【详解】对于①，直线，令，则，直线在轴上的截距为-，则①错误；
对于②，直线的斜率为，倾斜角为，则②正确；
对于③直线，由点斜式方程可知直线必过定点，则③正确；
对于④，两条平行直线与间的距离为，则④错误.
故选：B.
10、C
【解析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.
【详解】，
故选：C.
11、C
【解析】先求出，然后根据复数的模求解即可
【详解】，
，
则，
故选：C
12、A
【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,D,D1点的坐标，利用向量求法求解
【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，

则，,，
,,
直线与所成角的余弦值为：.
故选:A
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
故答案为：.
14、
【解析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.
【详解】椭圆；双曲线，
双曲线和椭圆的焦点重合.
根据双曲线的定义有，
所以①，②，
根据椭圆的定义由，
所以路程

.
故答案为：
15、
【解析】根据双曲线方程求得左焦点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】因为双曲线的方程为，设其左焦点的坐标为，
故可得，解得，故左焦点的坐标为，
则其到直线的距离.
故答案为：.
16、
【解析】先证明则四边形OMPN是平行四边形，进而根据椭圆定义求出a，再求出c，最后求出答案.
【详解】因为M,O,N分别为的中点，所以，则四边形OMPN是平行四边形，所以，由四边形OMPN的周长为4可知，，即，则，于是
的周长是.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】（1）求出两个命题为真命题时的解集然后利用为真，取并求得的取值范围；
（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）由，解得，所以
又 ，因为，解得，
所以．当时，，
又为真，所以.
（2）由是的充分不必要条件，即，，
其逆否命题为，
由（1），，
所以，即：
【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有命题的真假判断与应用，充分不必要条件对应的等价结果，注意原命题与逆否命题等价属于简单题目.
18、（1）
（2）1
【解析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.
【小问1详解】
由题意，点椭圆上，有，
解得故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，显然不符；
当直线l的斜率存在时，
设直线l为：
联立方程得：
由，设，有
又由直线AM：，令x=-4得，
将代入得：，同理得：.
很明显，且，注意到，
，
而

，
故
所以.
【点睛】本题考查求椭圆的方程，解题关键是利用离心率与椭圆上的点，找到关于a，b，c的等量关系求解a与b．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，．表示出，，然后转化为相应的比值关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出，进而得出数列的通项公式；
（2）根据裂项相消求和法得出前项和为和.
【小问1详解】
因为成等比数列，所以
即，解得，所以；
【小问2详解】
因为，
，
，

20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明平面ABD即可；
（2）以A为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，分别求得平面BCD的一个法向量和平面DCM的一个法向量，然后由求解
【小问1详解】
证明：∵平面ABC，
∴，
又，，
∴平面ABD，
∴
【小问2详解】
如图，

以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，
则，，，，，
依题意，可得，
设为平面BCD的一个法向量，
则，
不妨令，可得
设为平面DCM的一个法向量，
则，
不妨令，可得，
所以
所以平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为
21、（1）
（2）或
【解析】（1）结合点到直线的距离公式、弦长公式求得，由此求得圆的方程.
（2）根据过的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.
【小问1详解】
由题意，设圆的标准方程为：，
圆关于直线对称，
圆与轴相切：…①
点到的距离为：，
圆被直线截得的弦长为，，
结合①有：，，
又，，，
圆的标准方程为：.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，满足题意
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.
又圆C的圆心为，半径，
由 ，
解得.
所以直线方程为，即
即 直线的方程为或.
22、（1）
（2）
【解析】(1)由等比数列的性质可得，结合条件求出，得出公比，从而得出通项公式.
(2)由（1）可得，再求出的前项和，从而可得出答案.
【小问1详解】
由题意可知，有，
，得或
∴或
又，∴
∴
【小问2详解】
，
∴
∴，又单调递增
,
所以满足条件的的最大整数为