《序列的傅里叶变换的定义和性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,信号和系统的,两种分析方法,：,(1)模拟信号和系统,信号用,连续变量时间t的函数表示,；,系统则用,微分方程描述,；,信号和系统的频域分析方法：,拉普拉斯变换,和,傅里叶变换,；,(2)时域离散信号和系统,信号用,序列,表示；,系统用,差分方程,描述；,频域分析的方法是：,Z变换,或,傅里叶变换,；,引言,时域分析方法,和,频率分析方法,序列的傅里叶变换的定义和性质,1,序列傅里叶变换的定义,称为序列,x(n)的傅里叶变换,，用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。,FT成立的,充要条件,是序列x(n)满足,绝对可和的条件,，即满足下式：,序列的傅里叶变换的定义和性质,序列的傅里叶变换对,序列的傅里叶变换的定义和性质,例,:设x(n)=R,N,(n)，求x(n)的FT,序列的傅里叶变换的定义和性质,例,:设x(n)=R,N,(n)，求x(n)的FT,设N=4，,幅度,与,相位,随变化曲线如下图所示,P36 例题2.1.2,序列的傅里叶变换的定义和性质,4.FT的对称性,(1)共轭对称序列,共轭对称序列x,e,(n)满足：,将x,e,(n)用其实部与虚部表示：,上式两边n用-n代替，取,共轭：,得到：,x,e,(n)=x*,e,(-n),x,e,(n)=x,er,(n)+jx,ein),x*,e,(-n)=x,er,(-n)-jx,ei,(-n),x,er,(n)=x,er,(-n)x,ei,(n)=-x,ei,(-n),实部是偶函数,虚部是奇函数,序列的傅里叶变换的定义和性质,(2)共轭反对称序列,共轭反对称序列满足：,将x,0,(n)用其实部与虚部表示：,上式两边n用-n代替，取,共轭：,对比上面两公式，左边相等，因此得到,x,o,(n)=x*,o,(-n),x,o,(n)=x,or,(n)+jx,oi,(n),x*,o,(-n)=x,or,(-n)jx,oi,(-n),实部是奇函数,虚部是偶函数,x,or,(n)=x,or,(-n),x,oi,(n)=x,oin),序列的傅里叶变换的定义和性质,例1,试分析x(n)=e,jn,的对称性,解：,将x(n)的,n用-n代替,，,再取共轭,得到：,x*(-n)=e,jn,因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是,共轭对称序列,。,将序列展成实部与虚部的形式，得到,x(n)=cosn+j sinn,上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。,序列的傅里叶变换的定义和性质,(3)任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和,x,e,(n),x,o,(n)和原序列x(n)有何关系？,将上式中的n用-n代替，取共轭：,根据上面两式，得到,x*(-n)=x,e,(n)-x,o,(n),x(n)=x,e,(n)+x,o,(n),序列的傅里叶变换的定义和性质,(4)频域函数X(e,j,)的对称性,任意频域函数X(e,j,)可表示成,共轭对称部分,和,共轭反对称部分之和,：,X(e,j,)=X,e,(e,j,)+X,o,(e,j,),X,e,(e,j,)=X*,e,(e,j,),X,o,(e,j,)=X*,o,(e,j,),X,e,(e,j,),X,o,(e,j,)和原频域函数X(e,j,)的关系,序列的傅里叶变换的定义和性质,(5)研究FT的对称性,(a),将序列x(n)表示成实部x,r,(n)与虚部x,i,(n)的形式,x(n)=x,r,(n)+jx,i,(n),将上式进行FT，得到:X(e,j,)=X,e,(e,j,)+X,o,(e,j,),结论,：,序列分成,实部,与,虚部,两部分，,实部对称的FT具有共轭对称性，虚部（包含j）一起对应的FT具有共轭反对称性。,x,i,(n),序列的傅里叶变换的定义和性质,(b)序列表示成共轭对称部分,x,e,(n),和共轭反对称部分,x,o,(n),之和,其中：,将上面两式,分别进行FT,，得到,FTx,e,(n),=1/2X(e,j,)+X*(e,j,)=ReX(e,j,)=,X,R,(e,j,),FTx,o,(n),=1/2X(e,j,)-X*(e,j,)=jImX(e,j,)=,jX,I,(e,j,),结论：,序列的,共轭对称部分x,e,(n,)对应着FT的实部,X,R,(e,j,),，而序列的,共轭反对称部分x,o,(n),对应着FT的,虚部,jX,I,(e,j,),。,x(n)=x,e,(n)+x,o,(n),序列的傅里叶变换的定义和性质,总结,：,序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下,：,x(n)=x,r,(n)+jx,i,(n),X(e,jw,)=X,e,(e,jw,)+X,o,(e,jw,),x(n)=x,e,(n)+x,o,(n),X(e,jw,)=X,R,(e,jw,)+jX,I,(e,jw,),FT,FT,序列的傅里叶变换的定义和性质,(6)研究实因果序列h(n)的对称性,因为h(n)是,实序列其FT只有共轭对称部分,H,e,(e,j,),，共轭反对称部分为零。所以其FT具有,共轭对称性,。,即：,H(e,j,)=H,e,(e,j,),H(e,j,)=H,*,(e-,j,),因此,实序列的FT,的,实部是偶函数,，,虚部是奇函数,即：,H,R,(e,j,)=H,R,(e-,j,),H,I,(e,j,)=-H,I,(e-,j,),序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)与其共轭对称部分,h,e,(n),和共轭反对称部分,h,o,(n),的关系,h(n)=h,e,(n)+h,o,(n),h,e,(n)=1/2h(n)+h(-n),h,o,(n)=1/2h(n)-h(-n),因为h(n)是实因果序列，,h,e,(n)和h,o,(n)可以用h(n)表示为,：,0，n=0,序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)分别用h,e,(n)和h,o,(n)表示为,h(n)=h,e,(n)u,+,(n),h(n)=h,o,(n)u,+,(n)+h(o)(n),说明：,实因果序列,可以完全仅由,其偶序列h,e,(n),恢复，因为,其奇序列,h,o,(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由h,o,(n)恢复h(n)时，需要补充一点,h(o)(n),信息,分段增益函数,序列的傅里叶变换的定义和性质,例2,：,若序列h(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实部为H,R,(e,jw,)=1+cosw，求h(n)及其H(e,jw,).,解,H,R,(e,jw,)=FTh,e,(n)=1+0.5 e,jw,+0.5 e,jw,=h,e,(n)e,-jwn,0.5 n=-1,h,e,(n)=,1 n=0,0.5 n=1,根据,实因果序列,特性，h(n)=,h,e,(n)U,+,(n),根据傅立叶变换定义，H(e,jw,)=FTh(n)=h(n)e,-jwn,=1+e,-jw,0,n0 0 其它n,序列的傅里叶变换的定义和性质,5.时域卷积定理,设：,y(n)=x(n)*h(n),则：,Y(e,j,)=X(e,j,)H(e,j,),证明：,令：,k=n-m,则,m,m,定理说明,：,两序列,卷积,的FT服从,相乘,关系，对于,线性时不变系统,，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT,序列的傅里叶变换的定义和性质,6.频域卷积定理,设：,y(n)=x(n)h(n),则：,证明：,x,X(,),e,序列的傅里叶变换的定义和性质,7.帕斯维尔Parseval定理,）,定理说明,：,信号时域的总能量等于频域中的总能量。,证明：,时域离散信号与系统的频域分析,本章作业,2.1 (1)(2)(3),2.5 (1)(2)(4),