一第三讲随机变量的函数与特征函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1,随机变量的函数变换,在随机试验,E,中，设样本空间为,S=e,i,对每一个试验结果,e,i,，,对应于,X,的某个取值,X(e,i,),，相应地指定一个,Y(e,i,),，且,Y(e,i,),与,X(e,i,),有如下关系：,显然，,Y,的概率特性与,X,是有关系的。,第三讲,随机变量的函数与特征函数,3.1.1,一维变换,若随机变量,X,、,Y,满足下列函数关系,如果,X,与,Y,之间的关系是单调的，并且存在反函数，即,若反函数,h(Y),的导数也存在，则可利用,X,的概率密度求出,Y,的概率密度。,综合上述讨论，得到,如果,X,和,Y,之间不是单调关系，即,Y,的取值,y,可能对应,X,的两个或更多的值,x,1,x,2,x,n,。,假定一个,y,值有两个,x,值与之对应，则有,一般地，如果,y=g(x),有,n,个反函数,h,1,(y),h,2,(y),h,n,(y),，则,3.1.2,二维变换,设二维随机变量,(X,1,X,2,),的联合概率密度,f(x,1,x,2,),，另有二维随机变量,(Y,1,Y,2,),，且,求随机变量,(Y,1,Y,2,),的联合概率密度,f(y,1,y,2,),。,离散随机变量和连续随机变量的特征,函数分别表示为,随机变量,X,的,第二特征函数,定义为特,征函数的对数，即,对二维随机变量，可用类似的方法定,义特征函数,第二特征函数,定义为,特征函数作用,可以简化各阶矩的运算,可以简化一维随机变量函数的运算,可以简化独立随机变量和的分布的计算,3.2.2,特征函数的性质,性质,1,：,性质,2,：若,Y=aX+b,，,a,和,b,为常数，,Y,的特征函数为,性质,3,：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若,则,3.2.3,特征函数与矩函数的关系,矩函数与特征函数之间存在如下关系：,3.2.4,特征函数与概率密度的关系,由定义可知，特征函数与概率密度函数有类似傅氏变换的关系,略有不同，指数项差一符号,3.3,常见分布,3.3.1,常见的离散型分布,一,.,两点分布,如果随机变量,X,的分布为,则称,X,服从,两点分布,，也称为,贝努里分布,。当,a,、,b,分别为,0,、,1,时，称这种分布为,0,1,分布,。,X,P,a,b,1,p,p,二,.,二项分布,设随机试验,E,只有两种可能的结果 且,将,E,独立地重复,n,次，那么在,n,次试验中事件,A,发生,m,次的概率为,称为,二项分布,。,三,.,泊松分布,设随机变量,X,的可能取值为,0,1,2,且分布密度为,则称,X,服从,泊松分布,。,3.3.2,常见的连续分布,一,.,均匀分布,设连续型随机变量,X,在有限区间,a,b,内取值，且其概率密度为,则称,X,在区间,a,b,上服从,均匀分布,。,随机变量,X,的分布函数为,1),一维高斯分布,高斯变量,X,的概率密度为：,二,.,高斯分布,概率分布函数,对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即令 ，归一化后的概率密,度为,服从标准正态分布,N(0,1),的高斯变量,X,，其特征函数为,服从 的高斯变量,Y,，其特征函数为,（,1,）已知,X,为高斯变量，则,Y=aX+b,（,a,b,为常数）也为高斯变量，且,（,2,）独立高斯变量之和仍为高斯变量。,高斯变量特点：,推广到多个互相,独立,的高斯变量，其和也是高斯分布。即,若,X,i,服从 ，则其和的数学期望和方差分别为,若有大量相互独立的随机变量的和,其中每个随机变量,X,i,对总的变量,Y,的影响足够小时，则在一定条件下，当,时，随机变量,Y,是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律无关。,结论,：任何许多独立作用之和的物理过程，都趋于高斯分布。,（,3,）中心极限定理,2,）二维高斯分布,设,X,是均值为 ，方差为 的正态随机变量，,Y,是均值为 ，方差为,的正态随机变量，且,X,Y,的相关系数为 ，则二维随机变量,(X,Y),为一个二维正态随机变量，其联合概率密度函数为,设,n,维随机变量向量为,Y,，数学期望和方差向量为,m,和,s,，它们具有如下形式：,Y=m=s=,协方差矩阵,C,C=,则,n,维联合概率密度函数为,三,.,分布,1),中心 分布,若,n,个互相独立的高斯变量,X,1,X,2,X,n,的数学期望都为零，方差为,1,，它们的平方和,的分布是具有,n,个自由度的 分布,。,其概率密度为,当互相独立的高斯变量,X,i,的方差不是,1,，而是 时，,Y,的概率密度为,性质：两个互相独立的具有 分布的随机变量之和仍为 分布，若它们的自由度分别为,n,1,和,n,2,，其和的自由度为,n=n,1,+n,2,。,2),非中心 分布,若互相独立的高斯变量,X,i,(I=1,2,n),的方差为 ，数学期望为 ，则,为,n,个自由度的非中心 分布,。,其概率密度为,称为,非中心分布参量,性质：两个相互独立的非中心 分布的随机变量之和仍为非中心 分布，若它们的自由度为,n,1,和,n,2,，非中心分布参量分别为 和 ，其和的自由度为,n=n,1,+n,2,，非中心分布参量为,四,.,瑞利分布和莱斯分布,1),瑞利分布,对于两个自由度的 分布，即,X,i,(I=1,2),是数学期望为零，方差为,且相互独立的高斯变量，则,为,瑞利分布,。,R,的概率密度为,对,n,个自由度的 分布，若令,则,R,为,广义瑞利分布,2),莱斯分布,当高斯变量,X,i,(I=1,2,n),的数学期望为 不为零时，是非中心 分布，而 则是,莱斯分布,。,对于任意,n,值有,3.4.1,随机序列收敛,设有随机变量,X,及随机变量序列,X,n,(n=1,2,),，均有二阶矩，且,则称,随机变量序列,X,n,依均方收敛于,X,，或者说，随机变量,X,是随机变量序列,X,n,在,n,趋于无穷时的均方极限。,（,m.s.,收敛）,3.4,随机序列收敛,如果随机变量序列,X,n,满足,那么该,序列,k,阶收敛于,X,。,以概率,1,收敛（,a.e.,收敛，准处处收敛，强收敛）,若随机变量满足 的概率为,1,，则称随机变量序列,X,n,以概率,1,收敛于,X,，记为,依概率收敛（,p,收敛，随机收敛）,若对于给定的正数 ，随机变量序,列,X,n,满足,则称随机变量序列,X,n,依概率收敛于,X,分布收敛（,d,收敛，弱收敛）,若,X,n,的概率分布函数在,x,的每一连续点,收敛于,X,的概率分布函数，则称随机变量序,列依分布收敛于随机变量,X,，记为,四种收敛的关系,随机变量的抽样,均匀分布到其它分布,高斯分布，中心极限定理,利用计算机的产生伪随机数（不能产生连续点，由位数决定）,加同余法,y,n+1,=y,n,+c,（,mod M,）,x,n+1,=y,n+1,/M,乘同余法,y,n+1,=ay,n,（,mod M,）,x,n+1,=y,n+1,/M,M,和初始,y,0,为正整数，,M,越大越好,