1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,实验二,的近似计算,实验目的：,是人们最常用的数学常数。人们对的研究已经持续了,2500,多年。在今天，这种探索还在继续,追溯关于圆周率的计算历程。通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等计算方法的介绍和计算体验，使学生感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和极限收敛性及收敛速度的综合认识，同时使学生看到数学家对科学真理的永无止境的追求。,实验指导：,一、割圆术,汉代著名数学家刘徽在,九章算术注,中创造了割圆术：,用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆的面积，圆内接正多边形,的周长也逐渐逼近
2、圆的周长，这充分体现了朴素的极限思,想。,设圆内接正 边形的边长为 ，其面积为 ，根据勾股定,理，边长有如下递推公式：,面积与边长的关系：,圆面积 与多边形面积 满足：,刘徽计算了圆内接正,96,边形的边长与面积，得到,的取值范围,祖冲之在公元,429,年计算了圆内接正,24576,边形的边长，,德国数学家鲁道夫（公元,1610,年）采用作单位圆的内接和外切正多边形，则单位圆的面积介于内外多边形的面积之间，,即用夹逼的方法近似计算,。,鲁道夫用了几乎半生的时间，算出,的,35,位小数。为了纪念他，德国人称,为鲁道夫数。,二、韦达公式,1593,年，韦达首次给出了计算 的精确表达式,这个公式的推
3、导所用的是朴实简洁的数学方法。,注：每增加两项，可以提高,1,位数的精确度。,实验思考题,：能否用韦达公式构造一种迭代算法计算 的近似值？,三、利用级数计算,1,。莱布尼兹级数（,1674,年发现）,注：前,1000,项计算大约能精确到百分位。,1844,年，数学家达什在没有计算机的情况下利用此式算出了 的前,200,位小数。使用误差估计式,计算一下要精确到 的,200,位小数需要取级数的多少项？由此可看出达什的工作是多么艰巨。,2,。欧拉的两个级数,(1748,年发现,),对收敛速度进行检验。,注：这两个级数收敛非常缓慢，实用价值并不大。,3,。基于 的级数,令 ，得,，,即为莱布尼兹级数，
4、直接使用时速度极慢，必须考虑加速算法。,观察级数可知，,x,的值越接近于零，级数收敛的越快。,令 则,因此，,非常接近于零。又,所以,注：取前,25,项的部分和就可以使 精确到,37,位小数。加速效果非常明显！,根据这一原理，还可以得到,高斯公式,斯托梅尔公式,四、拉马努金（,Ramanujan,）公式,目前，计算 的一个极其有效的公式,这个级数收敛的非常快，级数每增加,1,项，可提高大约,8,位小,数的精度。,1985,年，数学家比尔,.,高斯帕依使用这个公式在计算机,上算出了的,1750,万位小数。这个神奇的公式归功于印度年轻,的传奇数学家拉马努金（,1887-1920,）。,另一个改进的
5、计算公式为,收敛速度惊人！级数每增加,1,项，可提高,14,位小数精确度。,五、迭代方法,1,。迭代公式,1,1989,年，,Borwein,发现了下列收敛于 的迭代公式：,收敛效果：迭代,4,次可精确到,693,位小数。,迭代误差可以由下式估计：,误差界迭代,8,次可保证精确到小数点,178814,位！,2,。迭代公式,2,1996,年，,Bailey,发现了另一个收敛于 的迭代公式：,此迭代式的误差估计,随着计算机技术的飞速发展和计算方法的突破与创新，计算的世界纪录正在迅速地被刷新。目前，的数值已计算到小数点后,2061.5843,亿位。这一纪录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于,1999,年,9,月创造的。计算用了,37,小时,21,分，检验用了,46,小时,7,分。虽然这样高的精确度已经没有太多的实际意义，但这反映了现代数学科学的日新月异，反映了人类智慧向极限的挑战。,实验作业：,编程实现上述计算的方法，并进行收敛性分析和误差的估计。,
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