专题2定积分的近似计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,定积分的近似计算,1,问题背景和实验目的,定积分的近似计算,定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用,近似计算,。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。,本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：,矩形法,、,梯形法,和,抛物线法,。同时介绍,Matlab,计算定积分的相关函数。,2,矩形法,定积分的定义：,定积分的近似计算,3,矩形法,n,充分大，,x,充分小,定积分的近似：,通常我们取,左点法,右点法,中点法,点 可以任意选取，常见的取法有：左端点 ，右端点 和中点 。,4,步长,节点,右点法：,中点法：,左点法：,左点,法、右点法和中点法,5,解：,矩形法举例,=,h,=1/100=0.01,x,i,=,i,*,h,a,=0,b,=1,n,=100,例：用不同的矩形法计算下面的定积分,(,取,n=100)，,并比较这三种方法的相对误差。,左点法：,右点法：,中点法：,(,i,=0,1,2,.,100),6,理论值：,左点法相对误差：,误差分析,矩形法举例,右点法相对误差：,中点法相对误差：,不同的方法有不同的计算精度,有没有更好的近似计算定积分的方法,?,7,定积分几何意义,8,曲边小梯形,的面积可以由,直边小梯形,的面积来近似,整个,曲边梯形,的面积,：,梯形法,9,如果我们,n,等分区间,a,b，,即令：,则,=,梯形公式,梯形法,梯形公式与中点公式有什么区别,?,10,解：,=,例：用梯形法计算下面定积分,(,取,n=100)，,并计算相对误差,梯形法举例,a,=0,b,=1,n,=100,f,(,x,)=1,/,(1+,x,2,),=,h,=1/100=0.01,x,i,=,i,*,h,y,i,=,f,(,x,i,),相对误差：,11,2,n,等分区间,a,b,，,得,该,直线,用,抛物线,代替，计算精度是否会更好？,计算每个节点上的函数值：,抛物线法,在区间,x0,x,2,上，用过以下三点,的,抛物线,来近似原函数,f,(,x,),。,12,设过以上三点的抛物线方程为：,则在,区间,x,0,x,2,上，有,y,=,x,2,+,x,+,=,p,1,(,x,),抛物线法,13,同理可得：,相加即得：,抛物线法,14,整理后可得：,或,辛普森,(,Simpson),公式,抛物线法公式,抛物线法,15,=,例：用抛物线法计算下面定积分,(,取,n=100)，,并计算相对误差,解：,a,=0,b,=1,n,=100,y,i,=,f,(,x,i,)=1,/,(1+,x,i,2,),相对误差：,抛物线法,16,梯形法：,trapz,trapz,(x,y),x,为分割点（节点）组成的向量，,y,为被积函数在节点上的函数值组成的向量。,Matlab,近似计算定积分的相关函数,Matlab,计算定积分函数介绍,17,前面的做法,例：用梯形法计算下面定积分,(,取,n=100),解：,a,=0,b,=1,n,=100,y,i,=,f,(,x,i,)=1,/,(1+,x,i,2,),x=0:1/100:1;,y=1,./,(1+x,.,2);,trapz(x,y),trapz,函数,trapz(x,1./(1+x.2),trapz,举例,18,quad,(f,a,b,tol),f,=,f,(,x,),为被积函数，,a,b,为积分区间，,tol,为计算精度,将自变量看成是,向量,抛物线法：,quad,不用自己分割积分区间,可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是,10,-6,精度越高，函数运行的时间越长,此处的函数,f,是,数值形式,，应该使用数组运算，即 点运算：,.*,，,./,，,.,，,.,注：,抛物线法,19,解：,quad(,1./(1+x.2),0,1),quad(,1./(1+x.2),0,1,10e-10),quad(,1./(1+x.2),0,1,10e-16),函数表达式一定要用,单引号,括起来！,涉及的运算一定要用,数组运算,！,例：用,quad,计算定积分：,quad,举例,20,抛物线法计算二重积分：,dblquad,dblquad(f,a,b,c,d,tol),tol,为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10,-6,f(x,y,),可以由,inline,定义，或通过一个,函数句柄,传递,a,b,是第一积分变量的积分区间，,c,d,是第二积分变量,的积分区间,按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面,二重积分的计算,21,f=inline(4*x*y+3*y2);,I=dblquad(f,-1,1,0,2,),f(x,y,),中关于,第一自变量,的运算是,数组运算,，即把,x,看成是向量,，,y,看成是标量。,也可以全部采用数组运算,例2：,计算二重积分,dblquad,(,inline,(,4*x,*,y+3*,x2,),-1,1,0,2,),dblquad,(,inline,(,4*x,.*,y+3*,x.2,),-1,1,0,2,),例1：,计算二重积分,dblquad,举例,22,例：,计算,二重积分,dblquad,(,(x,y),4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2),指定,x,、,y,分别是,第一,和,第二,积分变量,dblquad,(,inline,(,4*x,*,y+3*x,.,2,),-1,1,0,2),被积函数,f,(,x,y,),的另一种定义方法：,匿名函数,dblquad,(,(,y,x,),4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2),下面的命令运行结果和上面的一样吗？,dblquad,举例,23,抛物线法计算二重积分：,triplequad,triplequad(f,a,b,c,d,e,f,tol),tol,为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10,-6,f(x,y,),可以由,inline,定义，或通过一个,函数句柄,传递,a,b,是第一积分变量的积分区间，,c,d,是第二积分变量,的积分区间，,e,f,是第三积分变量的积分区间，,三重积分的计算,24,f=inline(y*sin(x)+z*cos(x);,I=dblquad(f,0,pi,0,1,-1,1,),例1：,计算三重积分,triplequad,举例,Q=triplequad(.,(x,y,z)(y*sin(x)+z*cos(x),.,0,pi,0,1,-1,1),25,triplequad,举例,f=inline(x*y*z)2);,I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1,),例1：,计算三重积分,f=inline(x.*y.*z).2);,I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1,),f=inline(x.*y*z).2);,I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1,),26,int(f,a,b),计算,f,关于,默认自变量,的,定积分,，积分区间为,a,b,。,int(f),计算,f,关于,默认自变量,的,不定积分,。,int(f,v,a,b),计算函数f,关于自变量,v,的,定积分,，积分区间为,a,b,int(f,v),计算函数,f,关于自变量,v,的,不定积分,findsym(f,1),符号积分：,int,int,符号积分,27,syms,x y,;,f=y*sin(x);,int(,f,x,),int(,f,y,),int(,f,),int(,a+b,),ans=,-y*cos(x),ans=,1/2*y2*sin(x),ans=,-y*cos(x),ans=,a*b+1/2*b2,例：指出下面各条语句的输出结果,int,举例,28,例：用,int,函数计算定积分：,解：,syms x;,f=1/(1+x2);,int(f,x,0,1,),f=sym(1/(1+x2);,int(f,x,0,1,),int(1/(1+x2),x,0,1,),或,int(1/(1+x2),0,1,),或,或,int,举例,29,double(a),将,a,转化为双精度型，若,a,是字符，则取对应的,ASCII,码,a=3;,double(a),double(a),例：,ans=3,ans=97,其它相关函数,30,x=1:,0.001,:2;,y=exp(x.(-2);,trapz(x,y),梯形法：,抛物线法：,quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10,),符号积分法：,syms,x,int(exp(x(-2),x,1,2,),例,1,：,用,Matlab,函数,近似计算积分,数值实验,31,抛物线法：,dblquad(inline(,x+y2,),0,2,-1,1),符号积分法：,f=int(x+y2,y,-1,1);,int(f,0,2),数值实验,例,2,：,用,Matlab,函数,近似计算二重积分,32,