第三章-有限元法模拟渗流.ppt

CH1-,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,岩土工程数值法,授课教师：刘加才,1,第三章 有限元法模拟渗流,3.1 引言：,一、有限元方法（Finite Element Method）,将研究的问题划分为若干区域即单元，而单元通过节点来确定。单元内的水头值由节点水头值用插值函数来表示。,二、推导方法,1）、变分法 2）、迦辽金方法,2,3.2 迦辽金方法,一、迦辽金方法解拉普拉斯方程步骤,1、确定一个近似解,2、以NNODE个基函数为权重，在全域积分时等于0,3,3.2 迦辽金方法,一、迦辽金方法解拉普拉斯方程步骤,3、分部积分,由于基函数是分段定义的，在全域上连续，但一次导数不一定连续，导致二阶导数在一阶导数间断处不易确定。,4,3.2 迦辽金方法,一、迦辽金方法解拉普拉斯方程步骤,3、分部积分,广义变量，表示沿边界的距离，逆时针为正,n,x,和n,y,边界外法线方向单位矢量的分量。,5,3.2 迦辽金方法,二、三角形单元,1、有限元网格,6,3.2 迦辽金方法,二、三角形单元,2、基本单元,1）节点用编号及其坐标确定（而差分用行列确）定,每个三角形单元有三个节点号i,j,m,按逆时针编号，如单元1，节点编号为1,6,5或6,5,1等,7,3.2 迦辽金方法,二、三角形单元,2、基本单元,2）单元水头近似解可以用下式表示：系数通过下式求解,8,3.2 迦辽金方法,二、三角形单元,2、基本单元,2）将单元水头近似解用节点水头值表示：,式中,9,3.2 迦辽金方法,二、三角形单元,2、基本单元，A,e,是三角形面积,10,3.2 迦辽金方法,二、三角形单元,2、基本单元,3）特点：,1、在节点L上是1，其它两个节点为0,2、沿每一条边都随距离线性变化,3、在三角形形心点是1/3,4、在节点L的对边是0,11,3.2 迦辽金方法,二、三角形单元,3、单元的拼接,12,3.2 迦辽金方法,三、传导矩阵的组合,1、有限元方程的矩阵表示,13,3.2 迦辽金方法,三、传导矩阵的组合,1、有限元方程的矩阵表示,14,3.2 迦辽金方法,三、传导矩阵的组合,1、有限元方程的矩阵表示,15,3.2 迦辽金方法,三、传导矩阵的组合,1、有限元方程的矩阵表示,16,3.2 迦辽金方法,三、传导矩阵的组合,2、单元传导矩阵,单元e仅贡献给与单元本身的三节点，i,j,m,17,3.2 迦辽金方法,三、传导矩阵的组合,2、单元传导矩阵,18,3.2 迦辽金方法,三、传导矩阵的组合,2、单元传导矩阵,19,3.2 迦辽金方法,三、传导矩阵的组合,2、单元传导矩阵,可见,单元传导矩阵具有对称性,20,3.2 迦辽金方法,三、传导矩阵的组合,3、总传导矩阵,21,3.2 迦辽金方法,四、边界条件,1、如果节点所在单元没有外部边界,22,3.2 迦辽金方法,四、边界条件,2、如果节点所在单元外部边界，但节点不在边界上,23,3.2 迦辽金方法,四、边界条件,3、如果节点是外部边界节点,1）给定流量,24,3.2 迦辽金方法,四、边界条件,3、如果节点是外部边界节点,2）给定水头,a、矩阵解法,25,3.2 迦辽金方法,四、边界条件,3、如果节点是外部边界节点,2）给定水头,b、迭代解法,26,3.2 迦辽金方法,b、迭代解法,27,3.2 迦辽金方法,五、四边形单元,1、有限元网格,28,3.2 迦辽金方法,五、四边形单元,2、基本单元,1）节点用编号及其坐标确定（而差分用行列确）定,每个三角形单元有三个节点号i,j,mn,按逆时针编号，如单元1，节点编号为1,2,6,5或6,5,1,2等,29,3.2 迦辽金方法,五、四边形单元,2、基本单元,2）单元水头近似解可以用下式表示：,系数通过下式求解,30,3.2 迦辽金方法,五、四边形单元,2、基本单元,2）将单元水头近似解用节点水头值表示：,31,3.2 迦辽金方法,五、四边形单元,2、基本单元,32,3.2 迦辽金方法,五、四边形单元,2、基本单元,3）特点：,1、在节点L上是1，其它三个节点为0,2、沿每一条边都随距离线性变化,3、在四边形形心点是1/4,33,3.2 迦辽金方法,六、等参单元,1、采用等参单元的意义,1）随着单元基函数中变量幂次的增加则单元内水头的计算精度提高，所以就需要找一些高阶的多项式作为单元的位移模式建立新的单元。,2)总传导矩阵的积分越来越不方便,34,3.2 迦辽金方法,六、等参单元,2、等参单元的概念及特征,等参元又称曲边单元，它可以减少用直线代替曲线边界造成的离散误差，同时又可采用高阶插值函数，是一种高效率单元。,先在局部坐标系里对简单几何形状单元(称为母单元)构造形函数，然后通过坐标变换将简单形状的母单元转化为在直角坐标系中的实际网格单元(称为子单元)，同时得到曲边子单元的形函数。所谓“等参”是因为确定子单元形状的坐标变换所采用的插值函数与确定单元场函数采用的插值函数相同而得来。,35,3.2 迦辽金方法,六、等参单元,2、等参单元的概念及特征,36,3.2 迦辽金方法,六、等参单元,2、等参单元的概念及特征,37,3.2 迦辽金方法,六、等参单元,3、高斯积分法,高斯数值积分法是优化选择积分点(x,i,)和积分权函数,(W,i,)，使积分计算公式为:,一维高斯积分:,一般若取n个积分点就有n个x,i,和n个W,i,的值，共2n个值，因此若是f(x)是2n-1次的多项式，那末该积分式就可得到完全精确的数值，关键是如何选取xi和Wi。现以n=2为例，即取2个积分点，则可使f(x)具有2n-1次的多项式的积分取得精确解，我们就需找出x1,x2,W1,W2四个数。f(x)是一个三次式,38,3.2 迦辽金方法,六、等参单元,3、高斯积分法,高斯数值积分法是优化选择积分点(x,i,)和积分权函数,(W,i,)，使积分计算公式为:,一维高斯积分:,一般若取n个积分点就有n个x,i,和n个W,i,的值，共2n个值，因此若是f(x)是2n-1次的多项式，那末该积分式就可得到完全精确的数值，关键是如何选取xi和Wi。现以n=2为例，即取2个积分点，则可使f(x)具有2n-1次的多项式的积分取得精确解，我们就需找出x1,x2,W1,W2四个数。f(x)是一个三次式,39,f(x)可取,则,利用多项式系数相同可列出方程求解x,1,x,2,W,1,W,2,根据系数相同可得四个方程,求出x,1,x,2,W,1,W,2,W,1,+W,2,=2,W,1,x,1,+W,2,x,2,=0,W,1,x,1,2,+W,2,x,2,2,=2/3 W,1,x,1,3,+W,2,x,2,3,=0,可得 x,1,=-x,2,=-0.57735 W,1,=W,2,=1.000000,40,二维和三维高斯积分:,1.二维高斯积分,可根据一维公式推出，先对x积分，把y看成常数,再对y进行积分:,41,2.三维高斯积分:,42,